Question

已知平面向量

a

=（cosx，sinx），

b

=（2sinx，-2cosx），

c

=

a

+m

b

，

d

=cos2x•

a

+sinx•

b

，f（x）=

c

•

d

，x∈R．
（1）當(dāng)m=2時(shí)，求y=f（x）的取值范圍；
（2）若f（x）的最大值是7，求實(shí)數(shù)m的值；
（3）（僅理科同學(xué)做，文科同學(xué)不做）若f（x）的最大值是g（m），對(duì)任意的m∈R，都有g(shù)（m）≥km-3恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：（1）由題意求得f（x）=-2（sinx-m）²+1+2m²，令t=sinx，則-1≤t≤1，則f（x）=h（t）=-2（t-m）²+1+2m² ，當(dāng)m=2時(shí)，h（t）=-2（t-2）²+9，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得f（x）的值域．
（2）由于h（t）=-2（t-m）²+1+2m² 的圖象的對(duì)稱軸為t=m，再分對(duì)稱軸在[-1 1]的左側(cè)、中間、右側(cè)三種情況，分別根據(jù)f（x）的最大值是7求得m的值．
（3）由（2）知g(m)=

-4m-1，m＜-1 2m2+1，-1≤m≤1 4m-1，m＞1

，再分類討論求得g（m）的最小值，由g（m）的最小值大于或等于km-3，求得k的范圍．

解答： 解：（1）由題意知|

a

|=1，|

b

|=2，

a

•

b

=0，f(x)=

c

•

d

=cos2x

a

2+msinx

b

2=cos2x+4msinx=-2sin2x+4msinx+1=-2（sinx-m）²+1+2m²．
令t=sinx，則-1≤t≤1，則h（t）=-2（t-m）²+1+2m² ，
當(dāng)m=2時(shí)，h（t）=-2（t-2）²+9在[-1，1]上遞增，則h（t）∈[h（-1），h（1）]，即f（x）的范圍為[-9，7]．
（2）①當(dāng)m＜-1時(shí)，h（t）=-2（t-m）²+1+2m²在[-1 1]上單調(diào)遞減，h（t）_max=h（-1）=-4m-1；-4m-1=7，所以m=-2滿足條件．
②當(dāng)-1≤m≤1時(shí)，h（t）=-2（t-m）²+1+2m²在[-1 1]上先增后減，h(t)max=h(m)=2m2+1；2m²+1=7，則m=±

6

，不滿足條件．
③當(dāng)m＞1時(shí)，h（t）=-2（t-m）²+1+2m²在[-1 1]上單調(diào)遞增，h（t）_max=h（1）=4m-1；由4m-1=7，求得m=2，滿足條件．
綜上，m=±2．
（3）由（2）知g(m)=

-4m-1，m＜-1 2m2+1，-1≤m≤1 4m-1，m＞1

，
①當(dāng)m＞1時(shí)，4m-1＞km-3得k＜4+

2

m

，即k≤4；
②當(dāng)m＜-1時(shí)，-4m-1＞km-3得k＞-4+

2

m

，即k≥-4；
③當(dāng)-1≤m≤1時(shí)，2m²+1＞km-3．
i）當(dāng)-1≤m＜0時(shí)，k＞2m+

4

m

，所以k＞-6；
ii）當(dāng)m=0時(shí)，k∈R，
iii）當(dāng)0＜m≤1時(shí)，k＜2m+

4

m

，所以k＜6，
綜上，實(shí)數(shù)k的取值范圍是-4≤k≤4．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查兩個(gè)向量的數(shù)量積公式，二次函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，注意分類的層次，屬于中檔題．