已知函數(shù) ,
(Ⅰ)求f(x)的定義域;
(Ⅱ)判斷并證明f(x)的奇偶性;
(Ⅲ)在(0,1)內(nèi),求使關系式成立的實數(shù)x的取值范圍.
【答案】分析:(I)根據(jù)分式函數(shù)分母不能為零和對數(shù)函數(shù)真數(shù)大于零求解;
(Ⅱ)由(1)知定義域關于原點對稱,再分析f(-x)與f(x)的關系;
(Ⅲ)先證明f(x)在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞減,即在給定的區(qū)間上任取兩個變量,且界定其大小,再作差變形,再與零進行比較,關鍵是變形到位用上條件.最后利用單調(diào)性將原不等式轉(zhuǎn)化為整式不等式求解即可.
解答:解:(Ⅰ)函數(shù)f(x)有意義,需
解得-1<x<1且x≠0,
∴函數(shù)定義域為x|-1<x<0或0<x<1;
(Ⅱ)函數(shù)f(x)為奇函數(shù),
∵f(-x)==
又由(1)已知f(x)的定義域關于原點對稱,
∴f(x)為奇函數(shù);
(Ⅲ)設0<x1<x2<1,∵
又x1x2>0,x2-x1>0,∴
,∵1-x1>0,1-x2>0,x1-x2<0,
;
.②
由①②,得,
∴f(x)在(0,1)內(nèi)為減函數(shù);
,∴使成立x的范圍是
點評:本題主要考查函數(shù)的基本性質(zhì),涉及到定義域的求法,要注意分式函數(shù),根式函數(shù)和基本函數(shù)的定義域;還考查了奇偶性的判斷,要注意定義域.
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1
2
x+
3
cos
1
2
x
,求:
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1
2
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1
2
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x
2
•log2
x
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x
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9
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