Question

已知函數(shù)，
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）證明：若，則對于任意有。

Answer 1

（1）a=2時，在上單調(diào)增加；時，在上單調(diào)減少，在，上單調(diào)增加；時，在（1，a-1）上單調(diào)減少，在(0,1)，(a-1,+?)上單調(diào)增加；                  
（2）證明詳見解析

試題分析：（1）求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)分類求單調(diào)性；（2）先求導(dǎo)，然后求出單間區(qū)間，在進一步證明即可.
試題解析：（1）的定義域為，
（i）若，即a=2，則，故在上單調(diào)增加。
（ii）若，而，故，則當(dāng)時，；
當(dāng)及時，。
故在上單調(diào)減少，在，上單調(diào)增加。
（iii）若，即， 同理可得在（1，a-1）上單調(diào)減少，在(0,1)，(a-1,+?)上單調(diào)增加。                  
（2）考慮函數(shù)，
則，
由于，故，即在上單調(diào)增加，從而當(dāng)時，
有，即，故；
當(dāng)時，有。