如圖，幾何體ABCDE中，△ABC是正三角形，EA和DC都垂直于平面ABC，且EA=AB=2a，DC=a，F(xiàn)、G分別為EB和AB的中點．
（1）求證：FD∥平面ABC；
（2）求二面角B-FC-G的正切值．
分析：（1）連CG，F(xiàn)G，由已知中F是BE的中點，結(jié)合三角形中位線的性質(zhì)，可得FG平行且等于AE的一半，又由EA、CD都垂直于平面ABC，且EA=2a，DC=a，可得四邊形DEGC是平行四邊形，進(jìn)而得到DF∥CG，由線面平行的判定定理即可得到FD∥平面ABC；
（2）易知BG⊥平面FCG，所以△FCG為△BFC的射影，故分別計算面積可求二面角的余弦值，從而得解．
解答：證明：（1）連CG，F(xiàn)G，則四邊形DEGC是平行四邊形，得到DF∥CG
DF?平面ABC，CG?平面ABC
所以FD∥平面ABC；
（2）設(shè)二面角B-FC-G的大小為α
易知BG⊥平面FCG，所以△FCG為△BFC的射影
∴cosα=
S△FCG
S△BFC
=
21
7

∴tanα=
2
3
3
點評：本題以多面體為載體，考查直線與平面平行的判定，熟練掌握線面平行的判定方法及證明步驟是解答本題的關(guān)鍵．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•青島一模）如圖，幾何體ABCD-A1B1C1D1中，四邊形ABCD為菱形，∠BAD=60°，AB=a，面B1C1D1∥面ABCD，BB1、CC1、DD1都垂直于面ABCD，且BB1=
2
a，E為CC1的中點，F(xiàn)為AB的中點．
（Ⅰ）求證：△DB1E為等腰直角三角形；
（Ⅱ）求二面角B1-DE-F的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，幾何體ABCD中，△ABC是正三角形，EA和DC都垂直于平面ABC，且EA=AB=2a，DC=a，F(xiàn)、G分別為EB何AB的中點．
（1）求證：FD∥平面ABC；
（2）求證：AF⊥BD；
（3）求二面角B-FC-G的正切值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•青島一模）如圖，幾何體ABCD-B1C1D1中，四邊形ABCD為菱形，∠BAD=60°，AB=a，面B1C1D1∥面ABCD，BB1、CC1、DD1都垂直于面ABCD，且BB1=
2
a，E為CC1的中點．
（Ⅰ）求證：△DB1E為等腰直角三角形；
（Ⅱ）求證：AC∥面DB1E．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012-2013學(xué)年湖北省黃岡市黃州區(qū)菱湖高中高一（上）期中數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

如圖，幾何體ABCD中，△ABC是正三角形，EA和DC都垂直于平面ABC，且EA=AB=2a，DC=a，F(xiàn)、G分別為EB何AB的中點．
（1）求證：FD∥平面ABC；
（2）求證：AF⊥BD；
（3）求二面角B-FC-G的正切值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2013年山東省青島市高考數(shù)學(xué)一模試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

如圖，幾何體ABCD-A1B1C1D1中，四邊形ABCD為菱形，∠BAD=60°，AB=a，面B1C1D1∥面ABCD，BB1、CC1、DD1都垂直于面ABCD，且，E為CC1的中點，F(xiàn)為AB的中點．
（Ⅰ）求證：△DB1E為等腰直角三角形；
（Ⅱ）求二面角B1-DE-F的余弦值．

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