Question

如圖，已知梯形ABCD中|AB|=2|CD|，點(diǎn)E分有向線段

.

AC

所成的比為

8

11

，雙曲線過C、D、E
三點(diǎn)，且以A、B為焦點(diǎn)．求雙曲線的離心率．

Answer 1

分析：以AB的垂直平分線為y軸，直線AB為x軸，建立直角坐標(biāo)系xOy，設(shè)出A、B、C的坐標(biāo)，利用點(diǎn)E分有向線段

.

AC

所成的比為

8

11

，|AB|=2|CD|，求出E的坐標(biāo)，結(jié)合雙曲線方程，求出關(guān)于e的表達(dá)式，即可得到e的值．

解答：解：如圖，以AB的垂直平分線為y軸，直線AB為x軸，建立直角坐標(biāo)系xOy，則CD⊥y軸．

因?yàn)殡p曲線經(jīng)過點(diǎn)C、D，且以A、B為焦點(diǎn)，由雙曲線的對(duì)稱性知C、D關(guān)于y軸對(duì)稱．（2分）
依題意，記A（-c，0），C（

c

2

，h），B（c，0），
其中c為雙曲線的半焦距，c=

1

2

|AB|，h是梯形的高．
由定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式，得點(diǎn)E的坐標(biāo)為xE=

-c+ 8 11 × c 2

1+ 8 11

=-

7

19

c，yE=

0+ 8 11 ×h

1+ 8 11

=

8

19

h．（5分）
設(shè)雙曲線的方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1，則離心率e=

c

a

．
由點(diǎn)C、E在雙曲線上，
得

1 4 • c2 a2 - h2 b2 =1 49 361 • c2 a2 - 64 361 • h2 b2 =1.

（10分）
解得

h2

b2

=

1

4

•

c2

a2

-1，化簡(jiǎn)可得

c2

a2

=9，
所以，離心率e=

c2 a2

=3（14分）

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查坐標(biāo)法、定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式、雙曲線的概念和性質(zhì)，推理、運(yùn)算能力和綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的能力．