在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓.如圖所示，斜率為且不過原點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，射線交橢圓于點(diǎn)，交直線于點(diǎn).

（Ⅰ）求的最小值；

（Ⅱ）若∙，（i）求證：直線過定點(diǎn)；

（ii）試問點(diǎn)，能否關(guān)于軸對(duì)稱？若能，求出此時(shí)的外接圓方程；若不能，請(qǐng)說明理由.

 

 

【答案】

 

【解析】（Ⅰ）由題意:設(shè)直線,

由消y得:,

設(shè)A、B,AB的中點(diǎn)E,則由韋達(dá)定理得:

=,即,,

所以中點(diǎn)E的坐標(biāo)為E,

因?yàn)镺、E、D三點(diǎn)在同一直線上，

所以，即，

解得，

所以=,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),

即的最小值為2.

（Ⅱ）（i）證明:由題意知:n>0,因?yàn)橹本�OD的方程為,

所以由得交點(diǎn)G的縱坐標(biāo)為,

又因?yàn)?sub>,,且∙，所以,

又由（Ⅰ）知: ,所以解得,所以直線的方程為,

即有,

令得,y=0,與實(shí)數(shù)k無關(guān),

所以直線過定點(diǎn)(-1,0).

（ii）假設(shè)點(diǎn)，關(guān)于軸對(duì)稱,則有的外接圓的圓心在x軸上,

又在線段AB的中垂線上,

由（i）知點(diǎn)G(,所以點(diǎn)B(,

又因?yàn)橹本�過定點(diǎn)(-1,0),所以直線的斜率為，

又因?yàn)?sub>，所以解得或，

又因?yàn)?sub>,所以舍去,即，

此時(shí)k=1，m=1，E，.

AB的中垂線為2x+2y+1=0，

圓心坐標(biāo)為，圓半徑為，圓的方程為.

綜上所述, 點(diǎn)，關(guān)于軸對(duì)稱,此時(shí)的外接圓的方程為: .

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為極點(diǎn)，x正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為：pcos(θ-
π3
)=1，M，N分別為曲線C與x軸，y軸的交點(diǎn)，則MN的中點(diǎn)P在平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系中，A（3，0）、B（0，3）、C（cosθ，sinθ），θ∈(
π
2
，
3π
2
)，且|
AC
|=|
BC
|．
（1）求角θ的值；
（2）設(shè)α＞0，0＜β＜
π
2
，且α+β=
2
3
θ，求y=2-sin2α-cos2β的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系中，如果x與y都是整數(shù)，就稱點(diǎn)（x，y）為整點(diǎn)，下列命題中正確的是
 
（寫出所有正確命題的編號(hào)）．
①存在這樣的直線，既不與坐標(biāo)軸平行又不經(jīng)過任何整點(diǎn)
②如果k與b都是無理數(shù)，則直線y=kx+b不經(jīng)過任何整點(diǎn)
③直線l經(jīng)過無窮多個(gè)整點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)l經(jīng)過兩個(gè)不同的整點(diǎn)
④直線y=kx+b經(jīng)過無窮多個(gè)整點(diǎn)的充分必要條件是：k與b都是有理數(shù)
⑤存在恰經(jīng)過一個(gè)整點(diǎn)的直線．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系中，下列函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的是（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)（1，0）為圓心，r為半徑作圓，依次與拋物線y2=x交于A、B、C、D四點(diǎn)，若AC與BD的交點(diǎn)F恰好為拋物線的焦點(diǎn)，則r=
 
．

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