Question

已知點P的坐標（x，y）滿足

x+y≤4 y≥x x≥1

，過點P的直線l與圓C：x²+y²=16相交于A、B兩點，則|AB|的最小值為

2

6

．

Answer 1

分析：作出不等式對應的平面區(qū)域，利用直線與圓的位置關系，確定點P的位置，進行即可即可．

解答：解：作出不等式對應的平面區(qū)域如圖（陰影部分CDE），
過點P的直線l與圓C：x²+y²=16相交于A、B兩點，要使|AB|最小，
則圓心到過P的直線的距離最大，
由圖象可知當點P在E處時，滿足條件，此時OE⊥AB，
由

x=1 x+y=4

，解得

x=1 y=3

，即E（1，3）．
此時|OE|=

12+32

=

10

，
∴|AB|=2|BE|=2

OB2-OE2

=2

16-10

=2

6

，
故答案為：2

6

．

點評：本題主要考查直線與圓的位置關系的應用，利用直線和圓相交，根據弦長公式確定點P的位置是解決本題的關鍵，綜合性較強．