Question

已知函數(shù)．
（I）是否存在實數(shù)a，b（a＜b），使得函數(shù)y=f （x）的定義域和值域都是[a，b]．若存在，求出a，b的值；若不存在，請說明理由；
（II）若存在實數(shù)a，b（a＜b），使得函數(shù)y=f （x）的定義域為[a，b]，值域為[ma，mb]（m≠0）．求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）可假設(shè)存在實數(shù)a，b，使得y=f（x）的定義域和值域都是[a，b]，由此出發(fā)探究a，b的可能取值，可分三類：a，b∈（0，1）時，a，b∈（1，+∞）時，a∈（0，1），b∈（1，+∞），分別建立方程，尋求a，b的可能取值，若能求出這樣的實數(shù)，則說明存在，否則說明不存在；
（II）由題意，由函數(shù)y=f （x）的定義域為[a，b]，值域為[ma，mb]（m≠0）可判斷出m＞0及a＞0，結(jié)合（I）的結(jié)論知只能a，b∈（1，+∞），由函數(shù)在此區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)，建立方程，即可得到實數(shù)m所滿足的不等式，解出實數(shù)m的取值范圍．
解答：解：（I）不存在實數(shù)a，b滿足條件．
假設(shè)存在實數(shù)a，b，使得y=f（x）的定義域和值域都是[a，b]，而y≥0，x≠0，所以應(yīng)有a＞0
又f（x）=
（1）當a，b∈（0，1）時，在（0，1）上為減函數(shù)，
故有，即由此可得a=b，此時實數(shù)a，b的值不存在．
（2）當a，b∈（1，+∞）時，在∈（1，+∞）上為增函數(shù)，
故有，即由此可得a，b是方程x²-x+1=0的根，但方程無實根，所以此時實數(shù)a，b也不存在．
（3）當a∈（0，1），b∈（1，+∞）時，顯然1∈[a，b]，而f（1）=0∈[a，b]不可能，此時a，b也不存在
綜上可知，適合條件的實數(shù)a，b不存在．
（II）若存在實數(shù)a，b使函數(shù)y=f（x）的定義域為[a，b]，值域為[ma，mb]（m≠0）．
由mb＞ma，b＞a得m＞0，而ma＞0，所以a＞0
由（I）知a，b∈（0，1）或a∈（0，1），b∈（1，+∞）時，適合條件的實數(shù)a，b不存在，故只能是a，b∈（1，+∞）
∵在∈（1，+∞）上為增函數(shù)
∴，即
∴a，b是方程mx²-x+1=0的兩個不等實根，且二實根均大于1，
∴，解之得0＜m＜，
故實數(shù)m的取值范圍是（0，）
點評：本題的考點是函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用，考察了絕對值函數(shù)，函數(shù)的定義域、值域構(gòu)造方程的思想，二次方程根與系數(shù)的關(guān)系等，解題的關(guān)鍵是理解題意，將問題正確轉(zhuǎn)化，進行分類討論探究，本題考察了分類討論的思想，方程的思想，考察了推理判斷能力，是一道綜合性較強的題，思維難度大，解題時要嚴謹，本題易因為考慮不完善出錯．