Question

如圖，設有雙曲線

x2

4

-

y2

9

=1，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂是其兩個焦點，點M在雙曲線上．
（1）若∠F₁MF₂=90°，求△F₁MF₂的面積．
（2）若∠F₁MF₂=60°，△F₁MF₂的面積是多少？若∠F₁MF₂=120°，△F₁MF₂的面積又是多少？
（3）觀察以上計算結果，你能看出隨∠F₁MF₂的變化，△F₁MF₂的面積將怎樣變化嗎？試證明你的結論．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由雙曲線方程知a=2，b=3，c=

13

，設|MF₁|=r₁，|MF₂|=r₂（r₁＞r₂）．由雙曲線定義，有r₁-r₂=2a=4，由此能求出△F₁MF₂的面積．
（2）若∠F₁MF₂=60°，在△MF₁F₂中，由余弦定理及雙曲線定義求得r₁r₂=36．由此求出S△F1MF2=9

3

．同理可求得若∠F₁MF₂=120°，S△F1MF2=3

3

．
（3）由以上結果猜想，隨著∠F₁MF₂的增大，△F₁MF₂的面積將減�。�由雙曲線定義及余弦定理能證明當θ增大時，S△F1MF2=

b2

tan θ 2

將減�。�

解答： 解：（1）由雙曲線方程

x2

4

-

y2

9

=1，知a=2，b=3，c=

13

，
設|MF₁|=r₁，|MF₂|=r₂（r₁＞r₂）．
由雙曲線定義，有r₁-r₂=2a=4，
兩邊平方得r12+r22-2r₁•r₂=16，
∴|F₁F₂|²-4S△F1MF2=16，
∴52-16=4S△F1MF2，解得S△F1MF2=9．
∴△F₁MF₂的面積是9．（4分）
（2）若∠F₁MF₂=60°，在△MF₁F₂中，
由余弦定理得|F₁F₂|²=r12+r22-2r₁r₂cos 60°，
|F₁F₂|²=（r₁-r₂）²+r₁r₂，所以r₁r₂=36．
∴S△F1MF2=

1

2

r₁r₂sin60°=9

3

．
同理可求得若∠F₁MF₂=120°，S△F1MF2=3

3

．．（8分）
（3）由以上結果猜想，隨著∠F₁MF₂的增大，△F₁MF₂的面積將減�。�
證明如下：
令∠F₁MF₂=θ，則S△F1MF2=

1

2

r₁r₂sinθ．
由雙曲線定義及余弦定理，
有

(r1-r2)2=4a2① r12+r22-2r1•r2cosθ=4c2②

②-①得r₁•r₂=

4c2-4a2

2(1-cosθ)

，
∴S△F1MF2=

(c2-a2)sinθ

1-cosθ

=

b2

tan θ 2

，
∵0＜θ＜π，0＜

θ

2

＜

π

2

，
在（0，

π

2

）內，tan

θ

2

是增函數．
因此當θ增大時，S△F1MF2=

b2

tan θ 2

將減�。�（12分）

點評：本題考查三角形面積的求法，考查隨著角的變化三角形面積變化的判斷與證明，解題時要認真審題，注意余弦定理的合理運用．