Question

【題目】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn ， an＞0，且滿足：（an+2）2=4Sn+4n+1，n∈N* ．
（1）求a1及通項(xiàng)公式an；
（2）若bn=（﹣1）nan ， 求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn ．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵（an+2）2=4Sn+4n+1，n∈N*，∴ =4a1+5，a1＞0，解得a1=1．

n≥2時(shí)， =4Sn﹣1+4（n﹣1）+1，相減可得： =0，an＞0，化為：an﹣an﹣1=2．

∴數(shù)列{an}是等差數(shù)列，公差為2，首項(xiàng)為1．

∴an=1+2（n﹣1）=2n﹣1

（2）解：bn=（﹣1）nan=（﹣1）n（2n﹣1）．

n=2k（k∈N*）時(shí)，b2k﹣1+b2k=﹣（2n﹣1）+（2n+1）=2．

∴數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn=n．

n=2k﹣1（k∈N*）時(shí)，b2k+b2k+1=（2n﹣1）﹣（2n+1）=﹣2．

∴數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn=﹣1﹣ =﹣n．

∴Tn= ，k∈N*

【解析】（1）利用數(shù)列遞推關(guān)系、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．（2）對(duì)n分類討論，利用分組求和即可得出．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用數(shù)列的前n項(xiàng)和和數(shù)列的通項(xiàng)公式的相關(guān)知識(shí)可以得到問(wèn)題的答案，需要掌握數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系；如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示，那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式．