Question

已知圓M：（x-1）²+y²=1，A（

1

2

，

5

2

），B（0，t），C（0，t-4）（其中0＜t＜4）．
（1）過點(diǎn)A的直線l被圓M截得的弦長為

3

，求直線l的方程；
（2）若直線PB，PC都是圓M的切線，且點(diǎn)P在y軸右側(cè)，求△PBC面積的最小值．

Answer 1

分析：（1）分類討論：斜率不存在時(shí)成立；斜率存在時(shí)，先求弦心距，再利用弦長可求斜率，從而可求方程；
（2）由于BC長度一定，故求△PBC面積的最小值，即求P的橫坐標(biāo)的最小值，利用PB，PC是圓的切線，可求P的坐標(biāo)，根據(jù)已知，可求其最小值．

解答：解：（1）①當(dāng)l⊥x軸時(shí)，l的方程為x=

1

2

，滿足題意．
②當(dāng)l與x軸不垂直時(shí)，設(shè)l：y-

5

2

=k（x-

1

2

），即kx-y+

5+k

2

=0．
所以圓心M到l的距離d=

|k+ 5-k 2 |

k2+1

，
又直線被圓所截弦長為

3

，則d=

12-( 3 2 )2

=

1

2

，
所以

|k+ 5-k 2 |

k2+1

=

1

2

，解得：k=-

12

5

，所以l：12x+5y-

37

2

=0．
綜上，直線l的方程為x=

1

2

，或24x+10y-37=0．
（2）設(shè)PB的斜率為k，則PB：y=kx+t，即kx-y+t=0．
因?yàn)镻B與圓M相切，所以 

|k+t|

k2+1

=1，得k=

1-t2

2t

．
所以PB：y=

1-t2

2t

x+t． 同理可得PA：y=

1-(t-4)2

2(t-4)

x+t-4．
由

y= 1-t2 2t x+t y= 1-(t-4)2 2(t-4) x+t-4.

解得x_P=

2t2-8t

t2-4t+1

．
由

2

xp

=

t2-4t+1

t2-4t

=1+

1

t2-4t

．
因?yàn)?＜t＜4，所以0＞t²-4t≥-4，所以

2

xp

≤

3

4

，x_P≥

8

3

．
當(dāng)t=2時(shí)，x_P=

8

3

，此時(shí)S_△ABC=

16

3

．
所以△PBC面積的最小值為

16

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題以圓為載體，考查圓的切線方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，有一定的綜合性．