Question

已知函數(shù)f（x）=x³-（4a-3）x²+4a（a-1）x?（a∈R）．
（I）當(dāng)a=2時(shí)，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上的最大、最小值；
（II）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，2）上不單調(diào)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）把a(bǔ)=2代入，對函數(shù)求導(dǎo)，分別令f′（x）＞0，f′（x）＜0，解不等式可求解出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)一步求函數(shù)的極值，然后比較極值與端點(diǎn)值，找出函數(shù)的最值
（II）函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，2）上不單調(diào)?f'（x）=0在（1，2）上有實(shí)根，且無重根，結(jié)合二次函數(shù)在（1，2）上的圖象求解
解答：（本小題滿分12分）
解：（I）當(dāng)a=2時(shí)，f（x）=x³-5x²+8xf'（x）=3x²-10x+8
令f'（x）=0得3x²-10x+8=0，x₁=，x₂=2（2分）f（x）在[1，2]上變化如表

由上表知，f（x）在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減
∴
∵f（1）=f（2）=4
∴f（x）_min=4（6分）
（II）f'（x）=3x²-2（4a-3）x+4a（a-1）
若函數(shù)f（x）在（1，2）上不單調(diào)，則方程f'（x）=0在（1，2）上有實(shí)根，且無重根（8分）
由f'（x）=3x²-2（4a-3）x+4a（a-1）=0
解得
則或（10分）
解得（12分）
點(diǎn)評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求最值，其步驟：①對函數(shù)求導(dǎo)②分別解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0，寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間③結(jié)合單調(diào)區(qū)間求函數(shù)的極值④計(jì)算端點(diǎn)值，與極值比較，找出最值