Question

已知函數(shù)f（x）=

x2+ax+11

x+1

（a∈R），若對于任意的X∈N^*，f（x）≥3恒成立，則a的取值范圍是______．

Answer 1

∵x∈N^*，
∴f（x）=

x2+ax+11

x+1

≥3恒成立?x²+ax+11≥3x+3恒成立，
∴ax≥-x²-8+3x，又x∈N^*，
∴a≥-

8

x

-x+3恒成立，
∴a≥g（x）_max，
令g（x）=-

8

x

-x+3（x∈N^*），再令h（x）=x+

8

x

（x∈N^*），
∵h（x）=x+

8

x

在（0，2

2

]上單調(diào)遞減，在[2

2

，+∞）上單調(diào)遞增，而x∈N^*，
∴h（x）在x取距離2

2

較近的整數(shù)值時達到最小，而距離2

2

較近的整數(shù)為2和3，
∵h（2）=6，h（3）=

17

3

，h（2）＞h（3），
∴當x∈N^*時，h（x）_min=

17

3

．又g（x）=-

8

x

-x+3=-h（x）+3，
∴g（x）_max=-

17

3

+3=-

8

3

．
∴a≥-

8

3

．