Question

已知函數(shù)y=f（x）是R上的減函數(shù)，函數(shù)y=f（x-1）的圖象關于點（1，0）對稱．若實數(shù)x，y滿足不等式f（x²-2x）≤-f（2y-y²），且1≤x≤4，則

y

x

的取值范圍是

[-

1

2

，1]

．

Answer 1

分析：由函數(shù)y=f（x-1）的圖象關于點（1，0）對稱，可得函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，再結合f（x²-2x）+f（2y-y²）≤0可得（x-y）（x+y-2）≥0（1≤x≤4），進而利用線性規(guī)劃的知識解決問題．

解答：解：函數(shù)f（x）是定義在R上的單調遞減函數(shù)．
因為函數(shù)y=f（x-1）的圖象關于點（1，0）對稱，
所以函數(shù)y=f（x）的圖象關于點（0，0）對稱，即函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)．
又因為對于任意的x，y∈R，不等式f（x²-2x）≤-f（2y-y²）成立，
所以f（x²-2x）≥f（-2y+y²）成立，
所以根據(jù)函數(shù)的單調性可得：對于任意的x，y∈R，不等式x²-2x≥y²-2y成立，即（x-y）（x+y-2）≥0（1≤x≤4），
所以可得其可行域，如圖所示：
因為

y

x

=

y-0

x-0

，
所以

y

x

表示點（x，y）與點（0，0）連線的斜率，
所以結合圖象可得：

y

x

的最小值是直線OC的斜率-

1

2

，最大值是直線AB的斜率1，
所以

y

x

的范圍為：[-

1

2

，1]．
故答案為：[-

1

2

，1]．

點評：解決此類問題的關鍵是熟練掌握抽象函數(shù)的性質的證明與判斷，如單調性、奇偶性的證明與判斷，并且熟練的利用函數(shù)的性質解有關的不等式，以及熟練掌握線性規(guī)劃問題，此題綜合性較強知識點也比較零散，對學生掌握知識與運用知識的能力有一定的要求．