Question

已知數(shù)列{a_n}滿足：a₁=，a₂=，a_n+1=2a_n-a_n-1（n≥2，n∈N*），數(shù)列{b_n}滿足：b₁＜0，3b_n-b_n-1=n（n≥2，n∈N*），數(shù)列{b_n}的前n項和為S_n，
(1)求證：數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列；
(2)求證：數(shù)列{b_n-a_n}為等比數(shù)列；
(3)若n=4時，S_n取得最小值，求b₁的取值范圍。

Answer 1

（Ⅰ）證明：由，
可得，
即，
可知數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列。
（Ⅱ）證明：∵{a_n}為等差數(shù)列，
∴公差，
∴，
又，
∴，
∴，
，
又，
∴對，
∴數(shù)列{b_n-a_n}是公比為的等比數(shù)列。
（Ⅲ）解：由（Ⅱ）得，
∴，
，
可知數(shù)列{b_n}為遞增數(shù)列，
由當(dāng)且僅當(dāng)n=4時，S_n取得最小值可得，
∴，
又當(dāng)時，由數(shù)列{b_n}為遞增數(shù)列，
可知S_n取得最小值時，n=4，
即當(dāng)且僅當(dāng)n=4時，S_n取得最小值的充要條件是，
由；
由；
∴b₁的取值范圍為（-182，-47）。