Question

已知曲線 y=x³+x-3 在點 P₀處的切線l₁ 平行直線4x-y-1=0，且點 P₀在第三象限．
（1）求P₀的坐標；
（2）若直線y=4x+a與曲線y=x³+x-3有兩個不同的交點，求實數(shù)a的值．

Answer 1

（1）由 y=x³+x-3，得y′=3x²+1，
由已知得3x²+1=4，解之得x=±1．
當x=1時，y=0；
當x=-1時，y=-4．
又∵點P₀在第三象限，
∴切點P0的坐標為（-1，-4）；
（2）原題可轉化為方程4x+a=x³+x-2有兩個不相等的實數(shù)根，
即方程x³-3x-2=a有兩個不相等的實數(shù)根，
易得函數(shù)f（x）=x³-3x-2的極小值是f（1）=-4，極大值是f（-1）=0，
從而可知a=0或a=-4．