Question

已知函數(shù)f（x）=ax³-3x²+3x（a＞0），求f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專(zhuān)題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：f′（x）=3ax²-6x+3，其判別式△=36-36a=，討論判別式的符號(hào)，由二次函數(shù)性質(zhì)可知f′（x）的符號(hào)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，求出恒函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

解答： 解：函數(shù)f（x）=ax³-3x²+3x（a＞0），
∴f′（x）=3ax²-6x+3，其判別式△=36-36a=36（1-a），
當(dāng)a≥1，∴△≤0，對(duì)任意實(shí)數(shù)，f′（x）≥0恒成立，
∴f（x）在（-∞，+∞）上是增函數(shù)，單調(diào)增區(qū)間是R．
當(dāng)a∈（0，1）時(shí)，△＞0，3ax²-6x+3=0，即ax²-2x+1=0，
解得：x=

2±2 1-a

2a

=

1± 1-a

a

，
x∈（-∞，

1- 1-a

a

）時(shí)f′（x）＞0，函數(shù)是增函數(shù)，
x∈（

1- 1-a

a

，

1+ 1-a

a

）時(shí)f′（x）＜0，函數(shù)是減函數(shù)，
x∈（

1+ 1-a

a

，+∞）時(shí)f′（x）＞0，函數(shù)是增函數(shù)．
綜上：當(dāng)a≥1時(shí)，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是R．
當(dāng)a∈（0，1）時(shí)，函數(shù)的增區(qū)間是：（-∞，

1- 1-a

a

），（

1+ 1-a

a

，+∞）．
單調(diào)減區(qū)間是：（

1- 1-a

a

，

1+ 1-a

a

）

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的知識(shí)，考查分類(lèi)討論思想，考查學(xué)生解決問(wèn)題的能力．