Question

在極坐標(biāo)系中，O是極點(diǎn)，A ( 

2

， 

5π

8

 )，B ( 2， 

3π

8

 )則△AOB的形狀為

 

．

Answer 1

分析：根據(jù)題意畫(huà)出極坐標(biāo)系，表示出點(diǎn)A和B在極坐標(biāo)系中的位置，連接AB，由點(diǎn)A和B所對(duì)的角求出∠AOB的度數(shù)，在三角形AOB中，由OA，OB及cos∠AOB的值，利用余弦定理求出AB的長(zhǎng)，得到AB與OA長(zhǎng)相等，然后再利用勾股定理的逆定理判斷得到此三角形也為直角三角形，從而得到三角形AOB為等腰直角三角形．

解答：
解：在極坐標(biāo)系中，由點(diǎn)A所對(duì)的角

5π

8

，點(diǎn)B所對(duì)的角

3π

8

，
得到∠AOB=

5π

8

-

3π

8

=

π

4

，
在△AOB中，OA=

2

，OB=2，cos∠AOB=sin

π

4

=

2

2

，
根據(jù)余弦定理得：AB²=OA²+OB²-2OA•OBcos∠AOB，
即AB2=2+4-2×

2

×2×

2

2

=2，
解得：AB=

2

，
∴OA=AB=

2

，又OB=2，
∴OA²+AB²=2+2=4，OB²=4，
∴OA²+AB²=OB²，即∠OAB=90°，
則△AOB的形狀為等腰直角三角形．
故答案為：等腰直角三角形

點(diǎn)評(píng)：此題考查了三角形形狀的判斷，用到的知識(shí)有余弦定理，等腰三角形的判定，以及勾股定理的逆定理，考查了數(shù)形結(jié)合的思想．根據(jù)極坐標(biāo)的意義，借助圖形求出∠AOB的度數(shù)是本題的突破點(diǎn)．