Question

已知函數(shù)f(x)=

3

sin2x+2cos2+3．
（1）當(dāng)x∈(0，

π

2

)時(shí)，求函數(shù)f（x）的值域；
（2）若f(x)=

28

5

，且x∈(

π

6

，

5π

12

)，求sin(4x+

π

3

)的值．

Answer 1

分析：（1）先利用二倍角及輔助角公式對(duì)函數(shù)化簡(jiǎn)可得，f（x）=2sin（2x+

π

6

）+4
由x∈(0，

π

2

)可得2x+

π

6

∈(

π

6

，

7π

6

)從而可求，sin(2x+

π

6

)∈(-

1

2

，1]，代入函數(shù)可求函數(shù)f（x）的值域
（2）由f(x)=

28

5

代入函數(shù)可得得2sin(2x+

π

6

)+4=

28

5

，即sin(2x+

π

6

)=

4

5

結(jié)合已知x∈(

π

6

，

5π

12

)可求cos(2x+

π

6

)=-

3

5

利用二倍角公式可得把所求的式子展開代入可求

解答：解：（1）由已知f（x）=

3

sin2x+2cos2x+3
=

3

sin2x+cos2x+4=2sin（2x+

π

6

）+4（2分）
當(dāng)x∈(0，

π

2

)時(shí)，2x+

π

6

∈(

π

6

，

7π

6

)，sin(2x+

π

6

)∈(-

1

2

，1]（4分）
故函數(shù)f（x）的值域是（3，6]（6分）
（2）由f(x)=

28

5

，得2sin(2x+

π

6

)+4=

28

5

，即sin(2x+

π

6

)=

4

5

（8分）
因?yàn)?span id="x99r0aw" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">x∈(

π

6

，

5π

12

)），所以cos(2x+

π

6

)=-

3

5

（10分）
故sin(4x+

π

3

)=2sin(2x+

π

6

)cos(2x+

π

6

) =-

24

25

（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用三角函數(shù)的二倍角公式及和差角公式把不同名的三角函數(shù)化簡(jiǎn)為 y=Asin（ωx+φ），考查了函數(shù)
y=Asin（ωx+φ）的值域的求解及同角平方關(guān)系的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)知識(shí)的簡(jiǎn)單綜合．