Question

已知函數(shù)f（x）=x³+bx²+cx在x=α與x=β處有兩上不同的極值點(diǎn)，設(shè)f（x）在點(diǎn)（-1，f（-1））處切線為l₁，其斜率為k₁；在點(diǎn)
（1，f（1））利的切線為l₂，其斜率為k₂．
（1）若
（2）若，求k₁k₂的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）求出求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，因?yàn)閮芍本�垂直得到斜率乘積為-1，即f′（-1）•f′（1）=-1得到一個式子①，因?yàn)棣梁挺聻榉匠痰膬蓚�根，利用根與系數(shù)的關(guān)系表示出|α-β|，代入到|α-β|=中得到②，然后①②解得b和c即可；
（2）把α=-代入到導(dǎo)函數(shù)中得到b與c的關(guān)系③，又因?yàn)棣隆剩?，1）得到f′（0）＜0，f′（1）＞0得到b與c的等式④，由③④解出c的取值范圍，而表示出k₁k₂，由c的范圍即可得到k₁k₂的范圍．
解答：解：（1）f′（x）=3x²+2bx+c∵l₁⊥l₂，
∴f′（-1）•f′（1）=-1
即（3+2b+c）（3-2b+c）=-1①
∵α，β是3x²+2bx+c=0的兩根，∴
又∵②
由①②得
（2）③
∵④
由③④得：

點(diǎn)評：考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值的能力，利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程的能力，以及會求直線的斜率．