Question

（不等式選講選做題）
（1）已知實數a、b、x、y滿足a²+b²=1，x²+y²=3，求ax+by的最大值；
（2）若x＜1，求2-x+

4

(x-1)2

的最小值，并求此時x的值．

Answer 1

分析：（1）先根據柯西不等式可知（a²+b²）（x²+y²）≥（ax+by）²，進而的求得（ax+by）²的最大值，進而求得ax+by的最大值．
（2）先將2-x+

4

(x-1)2

湊成=1+

1-x

2

+

1-x

2

+

4

(x-1)2

，然后利用基本不等式求出函數的最值，檢驗等號何時成立．

解答：解：（1）因為a²+b²=1，x²+y²=3，
由柯西不等式（a²+b²）（x²+y²）≥（ax+by）²，得
3≥（ax+by）²，
所以ax+by的最大值為

3

．
（2）2-x+

4

(x-1)2

=1+

1-x

2

+

1-x

2

+

4

(x-1)2

≥1+3 

3	1-x 2 • 1-x 2 • 4 (x-1)2

=4
當且僅當

1-x

2

=

1-x

2

=

4

(x-1)2

即x=-1時取等號．
最小值為4，此時x的值為-1．

點評：本題主要考查了基本不等式在最值問題中的應用．解題的關鍵是利用了柯西不等式，達到解決問題的目的．