Question

（文）本題共有3個小題，第1、2小題滿分各5分，第3小題滿分7分．第3小題根據(jù)不同思維層次表現(xiàn)予以不同評分．
對于數(shù)列{a_n}
（1）當{a_n}滿足a_n+1-a_n=d（常數(shù)）且（常數(shù)），證明：{a_n}為非零常數(shù)列．
（2）當{a_n}滿足a_n+1²-a_n²=d'（常數(shù)）且（常數(shù)），判斷{a_n}是否為非零常數(shù)列，并說明理由．
（3）對（1）、（2）等式中的指數(shù)進行推廣，寫出推廣后的一個正確結(jié)論（不用說明理由）．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知，結(jié)合等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式，建立q，d的關系，
（法一）證出d=0，，并說明項不為0即可．
（法二）證出q=1，并說明項不為0即可
（2）由（1）證明的結(jié)論知：{a_n²}為非零常數(shù)列，可舉反例說明{a_n}是否為非零常數(shù)列
（3）指數(shù)由1，2進行推廣到一般 時，由（1）代表了指數(shù)為奇數(shù)、且命題為真命題的情形，（2）代表了指數(shù)為偶數(shù)，且命題為真命題的情形 的情形，可據(jù)這兩式寫出正確的結(jié)論．
解答：解：（1）（法一）⇒qa_n-a_n=d⇒（q-1）a_n=d
當q=1時，∵a_n≠0，所以d=0；
當q≠1時，是一常數(shù)，矛盾，所以{a_n}為非零常數(shù)列； （5分）
（法二）設a_n=a₁+（n-1）d，則有：，
即a₁+nd=（a₁q-qd）+qdn（2分）
所以，解得．由此可知數(shù)列{a_n}為非零常數(shù)列； （5分）
（2）記a_n²=b_n，由（1）證明的結(jié)論知：{a_n²}為非零常數(shù)列．（2分）
顯然，{a_n²}為非零常數(shù)列時，{a_n}不一定為非零常數(shù)列，如：非常數(shù)數(shù)列a_n=（-p）ⁿ（p為大于0的正常數(shù)）和常數(shù)列a_n=p（p為非零常數(shù)）均滿足題意要求．（5分）
（3）若{a_n}滿足a_n+1^m-a_n^m=d'（常數(shù)）且（常數(shù)），則當m為奇數(shù)時，{a_n}必為非零常數(shù)列；當m為偶數(shù)時，{a_n}不一定為非零常數(shù)列．
或者：設a_n^m=a₁^m+（n-1）d，即a_n^m=A+Bn，則，即對一切n∈N^*均為常數(shù)，則必有B=0，即有a_n^m=A，當m為奇數(shù)時，，當m為偶數(shù)時，或者.3°{a_n}滿足a_n+1^m-a_n^m=d'（常數(shù)）且（常數(shù)），且m、l為整數(shù)，
當m、l均為奇數(shù)時，{a_n}必為非零常數(shù)列；否則{a_n}不一定為常數(shù)列．
事實上，條件（正常數(shù)）可以轉(zhuǎn)化為（常數(shù)），整個問題轉(zhuǎn)化為2°，結(jié)論顯然成立．（結(jié)論5分）
或者：設a_n^m=a₁^m+（n-1）d，即a_n^m=A+Bn，當m為奇數(shù)時，有，則，即對一切n∈N^*均為常數(shù)，則必有B=0，即有a_n^m=A，則，當m為偶數(shù)時，如反例：a_n=（-1）ⁿn∈N^*，它既滿足m次方后是等差數(shù)列，又是l（不管l為奇數(shù)還是偶數(shù)）次方后成等比數(shù)列，但它不為常數(shù)列.4°{a_n}滿足a_n+1^m-a_n^m=d'（常數(shù)）且（常數(shù)），m、l為有理數(shù)，q′＞0，則{a_n}必為非零常數(shù)列；否則{a_n}不一定為常數(shù)列．
證明過程同3°（結(jié)論6分）5°{a_n}滿足a_n+1^m-a_n^m=d'（常數(shù)）且（常數(shù)），且m、l為實數(shù)，q′＞0，{a_n}是不等于1的正數(shù)數(shù)列，則{a_n}必為非零且不等于1的常數(shù)列；否則{a_n}不一定為常數(shù)列．
事實上，當q′＞0，m、l為實數(shù)時，條件同樣可以轉(zhuǎn)化為，記a_n^m=b_n，由第（1）題的結(jié)論知：{b_n}必為不等于1的正常數(shù)數(shù)列，也即{a_n^m}為不等于1的正常數(shù)數(shù)列，，從而{a_n}也是不等于1的正常數(shù)數(shù)列．
（結(jié)論7分）
點評：本題考查歸納推理，借用了數(shù)列的形式．用到了等差、等比數(shù)列的定義、判斷，有理數(shù)指數(shù)冪的運算法則等知識．