Question

如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)面ABB₁A，ACC₁A₁均為正方形，∠BAC=90°，AB=2，點(diǎn)D₁是棱B₁C₁的中點(diǎn)．
（I）求證：A₁D₁⊥平面BB₁C₁C；
（II）已知線段A₁B₁上的一點(diǎn)P，滿足直線AP與平面A₁D₁C所成角的正弦值為的值．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵A₁B₁=A₁C₁，點(diǎn)D₁是棱B₁C₁的中點(diǎn)．
∴A₁D₁⊥B₁C₁，
又∵BB₁⊥平面A₁B₁C₁，∴BB₁⊥B₁C₁，
又∵BB₁∩B₁C₁，
∴A₁D₁⊥平面BB₁C₁C．
（Ⅱ）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，∵AB=AC=AA₁=2，
∴A（0，0，0），A₁（0，0，2），C（0，-2，0），C₁（0，-2，2），B₁（-2，0，2），D₁（-1，-1，2）．
=（0，2，2），=（-1，1，2），
設(shè)平面A₁D₁C的法向量，
則即，
令y=-1，則z=1，x=1，∴．
設(shè)，0≤λ≤1，
∵=（-2，0，0），∴=（-2λ，0，0），P（-2λ，0，2），=（-2λ，0，2）．
∵直線AP與平面A₁D₁C所成角的正弦值為，
∴===，
化為3λ²-10λ+3=0，解得或3．
∵0≤λ≤1，
∴，即．
分析：（Ⅰ）利用線面垂直的判定定理即可證明；
（Ⅱ）通過空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面CA₁D₁的法向量及斜線AP的向量坐標(biāo)，進(jìn)而求出其夾角，即可解決問題．
點(diǎn)評(píng)：熟練掌握線面垂直的判定定理和通過建立空間直角坐標(biāo)系求出法向量與斜向量的夾角是解決問題的關(guān)鍵．