Question

設F₁、F₂分別是橢圓

x2

4

+y2=1的左、右焦點．
（Ⅰ）若P是第一象限內該橢圓上的一點，且

PF1

•

PF2

=-

5

4

，求點P的作標；
（Ⅱ）設過定點M（0，2）的直線l與橢圓交于不同的兩點A、B，且∠AOB為銳角（其中O為作標原點），求直線l的斜率k的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出橢圓的a，b，c，P是第一象限內該橢圓上的一點設為（x，y），利用

PF1

•

PF2

=-

5

4

，以及P在橢圓上，求點P的坐標；
（Ⅱ）設過定點M（0，2）的直線l方程為y=kx+2，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），與橢圓聯立，注意到交于不同的兩點A、B，△＞0且∠AOB為銳角（其中O為作標原點），就是

OA

•

OB

=x1x2+y1y2＞0利用韋達定理，代入化簡，求直線l的斜率k的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）易知a=2，b=1，c=

3

．
∴F1(-

3

，0)，F2(

3

，0)．設P（x，y）（x＞0，y＞0）．
則

PF1

•

PF2

=(-

3

-x，-y)(

3

-x，-y)=x2+y2-3=-

5

4

，又

x2

4

+y2=1，
聯立

x2+y2= 7 4 x2 4 +y2=1

，解得

x2=1 y2= 3 4

?

x=1 y= 3 2

，P(1，

3

2

)．

（Ⅱ）顯然x=0不滿足題設條件．可設l的方程為y=kx+2，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
聯立

x2 4 +y2=1 y=kx+2

?x2+4(kx+2)2=4?(1+4k2)x2+16kx+12=0
∴x1x2=

12

1+4k2

，x1+x2=-

16k

1+4k2

由△=（16k）²-4•（1+4k²）•12＞016k²-3（1+4k²）＞0，4k²-3＞0，得k2＞

3

4

．①
又∠AOB為銳角?cos∠AOB＞0?

OA

•

OB

＞0，
∴

OA

•

OB

=x1x2+y1y2＞0
又y₁y₂=（kx₁+2）（kx₂+2）=k²x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4
∴x₁x₂+y₁y₂=（1+k²）x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4
=(1+k2)•

12

1+4k2

+2k•(-

16k

1+4k2

)+4
=

12(1+k2)

1+4k2

-

2k•16k

1+4k2

+4
=

4(4-k2)

1+4k2

＞0
∴-

1

4

＜k2＜4．②
綜①②可知

3

4

＜k2＜4，
∴k的取值范圍是(-2，-

3

2

)∪(

3

2

，2)．

點評：本題主要考查直線、橢圓、平面向量的數量積等基礎知識，以及綜合運用數學知識解決問題及推理計算能力．