Question

已知函數(shù)f（x）=-x²+2|x-a|，當(dāng)a＞0時(shí)，若對(duì)?x∈[0，+∞），不等式f（x-1）≥2f（x）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由題意可得，x∈[0，+∞）時(shí)，不等式x²+2x-1+2|x-（a+1）|-4|x-a|≥0恒成立 ①．再分（1）當(dāng)0≤x≤a時(shí)、當(dāng)（2）當(dāng)x≥a+1、（3）當(dāng)a＜x＜a+1時(shí)三種情況，分別求得a的范圍，再取交集，即為所求．

解答： 解：由題意可得，x∈[0，+∞）時(shí)，不等式x²+2x-1+2|x-（a+1）|-4|x-a|≥0恒成立 ①．
（1）當(dāng)0≤x≤a時(shí)，①即 x²+4x-2a+1≥0恒成立，由于當(dāng)x=0時(shí)，不等式左邊取得最小為-2a+1，
再由-2a+1≥0求得 a≤

1

2

，∴0＜a≤

1

2

．
（2）當(dāng)x≥a+1，①即x²+2a-3≥0 恒成立，由于當(dāng)x=a+1時(shí)，不等式的左邊取得最小值為a²+4a-2，
再由 a²+4a-2≥0求得a≥

6

-2．
（3）當(dāng)a＜x＜a+1時(shí)，①即 x²-4x+6a+1≥0恒成立，該不等式對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的圖象開口向上，
對(duì)稱軸為x=2，
若a＞2，則當(dāng)x=a時(shí)，不等式的左邊取得最小值為a²+2a+1，由為a²+2a+1≥0，求得a∈R，
故此時(shí)有 a＞2．
若a≤2≤a+1，則當(dāng)x=2時(shí)，不等式的左邊取得最小值為6a-3，由為6a-3≥0，求得a≥

1

2

，
故此時(shí)有1≤a≤2．
若a+1＜2，則當(dāng)x=a+1時(shí)，不等式左邊取得最小值為a²+4a-2≥0，求得a≥

6

-2，
故此時(shí)有

6

-2＜a＜1．
故在此分類條件下，a≥-2+

6

．
綜合（1）、（2）、（3），可得

6

-2≤a≤

1

2

，即a的范圍為[

6

-2，

1

2

]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，體現(xiàn)了分類討論、轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．