Question

已知奇函數(shù)f（x）的定義域為（-1，1），當(dāng)x∈（0，1）時，f（x）=

x

x+1

．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）判斷函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）上的單調(diào)性，并用定義加以證明．

Answer 1

考點：奇偶性與單調(diào)性的綜合

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）首先求出-1＜x＜0的解析式，注意取相反數(shù)，轉(zhuǎn)化為已知區(qū)間上，結(jié)合奇函數(shù)的定義可得，再由f（0）=0，即可得到f（x）的解析式；
（2）函數(shù)f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增．運用單調(diào)性的定義證明，注意作差、變形和定符號、下結(jié)論幾個步驟．

解答： 解：（1）當(dāng)x∈（-1，0）時，-x∈（0，1），
當(dāng)x∈（0，1）時，f（x）=

x

x+1

．
則f（-x）=

-x

-x+1

=

x

x-1

，
∵奇函數(shù)f（x）有f（x）=-f（-x）=-

x

x-1

，
當(dāng)x=0時，f（0）=0，
則f（x）=

- x x-1 ，x∈(-1，0) 0，x=0 x x+1 ，x∈(0，1)

；
（2）函數(shù)f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增．
證明如下：設(shè)0＜m＜n＜1，則f（m）-f（n）=

m

m+1

-

n

n+1

=

mn+m-(mn+n)

(m+1)(n+1)

=

m-n

(m+1)(n+1)

，
由于0＜m＜n＜1，則m-n＜0，（m+1）（n+1）＞0，
則f（m）-f（n）＜0，即f（m）＜f（n）．
則有函數(shù)f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增．

點評：本題考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的判斷和證明，考查函數(shù)的解析式的求法，考查運算能力．