Question

已知m，n為正整數(shù)．

(Ⅰ)用數(shù)學歸納法證明：當x＞－1時，(1＋x)^m≥1＋mx；

(Ⅱ)對于n≥6，已知，求證，m＝1，1，2…，n；

(Ⅲ)求出滿足等式3ⁿ＋4^m＋…＋(n＋2)^m＝(n＋3)ⁿ的所有正整數(shù)n

Answer 1

答案：
解析：

解法1：(Ⅰ)證：用數(shù)學歸納法證明： 　　(ⅰ)當時，原不等式成立；當時，左邊，右邊， 因為，所以左邊右邊，原不等式成立； 　　(ⅱ)假設當時，不等式成立，即，則當時， ，，于是在不等式兩邊同乘以得 ， 所以．即當時，不等式也成立． 綜合(ⅰ)(ⅱ)知，對一切正整數(shù)，不等式都成立． 　　(Ⅱ)證：當時，由(Ⅰ)得， 于是，． 　　(Ⅲ)解：由(Ⅱ)知，當時， ， ． 即．即當時，不存在滿足該等式的正整數(shù)． 故只需要討論的情形： 當時，，等式不成立； 當時，，等式成立； 當時，，等式成立； 當時，為偶數(shù)，而為奇數(shù)，故，等式不成立； 當時，同的情形可分析出，等式不成立． 綜上，所求的只有． 　　解法2：(Ⅰ)證：當或時，原不等式中等號顯然成立，下用數(shù)學歸納法證明： 當，且時，，．　�、� 　　(ⅰ)當時，左邊，右邊，因為，所以，即左邊右邊，不等式①成立； 　　(ⅱ)假設當時，不等式①成立，即，則當時，因為，所以．又因為，所以． 于是在不等式兩邊同乘以得 ， 所以．即當時，不等式①也成立． 綜上所述，所證不等式成立． 　　(Ⅱ)證：當，時，，， 而由(Ⅰ)，， ． 　　(Ⅲ)解：假設存在正整數(shù)使等式成立，即有．　　　　　② 又由(Ⅱ)可得 ，與②式矛盾． 故當時，不存在滿足該等式的正整數(shù)． 　　下同解法1．