Question

用數(shù)學(xué)歸納法證明：
對于一切n∈N^*，都有(12+1)+(22+2)+…+(n2+n)=

n(n+1)(n+2)

3

．

Answer 1

分析：用數(shù)學(xué)歸納法證明問題的步驟是：第一步，驗(yàn)證當(dāng)n=n₀時(shí)命題成立，第二步假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)命題成立，那么再證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立．關(guān)鍵是第二步中要充分用上歸納假設(shè)的結(jié)論．

解答：證明：（1）當(dāng)n=1時(shí)，左邊=1²+1=2，右邊=

1×2×3

3

=2，
所以當(dāng)n=1時(shí)，命題成立；          …（2分）
（2）設(shè)n=k時(shí)，命題成立，
即有(12+1)+(22+2)+…+(k2+k)=

k(k+1)(k+2)

3

…（4分）
則當(dāng)n=k+1時(shí)，
左邊=（1²+1）+（2²+2）+…+（k²+k）+[（k+1）²+（k+1）]…（5分）
=

k(k+1)(k+2)

3

+[(k+1)2+(k+1)]
=

(k+1)[k(k+2)+3(k+1)+3]

3

…（8分）
=

(k+1)(k2+5k+6)

3

=

(k+1)(k+2)(k+3)

3

=

(k+1)[(k+1)+1][(k+1)+2]

3

…（10分）
所以當(dāng)n=k+1時(shí)，命題成立．
綜合（1）（2）得：對于一切n∈N^*，
都有(12+1)+(22+2)+…+(n2+n)=

n(n+1)(n+2)

3

…（12分）

點(diǎn)評：本題考查數(shù)學(xué)歸納法的思想，應(yīng)用中要注意的是用上歸納假設(shè)的結(jié)論，否則會導(dǎo)致錯(cuò)誤．屬于中檔題．