在三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是邊長(zhǎng)為2
3
的正三角形,點(diǎn)A1在底面ABC上的射影O恰是BC的中點(diǎn).
(1)求證:A1A⊥BC;
(2)當(dāng)側(cè)棱AA1和底面成45°角時(shí),求二面角A1-AC-B的余弦值.
分析:(1)根據(jù)三垂線定理證明線線垂直即可;
(2)利用三垂線定理作二面角的平面角,再解三角形求解.
解答:解:(1)證明:連接AO,
A1O⊥面ABC,AO是A1A在面ABC的射影,∵AO⊥BC,
由三垂線定理,A1A⊥BC.
(2)由(1)知,∠A1AO為AA1與底面所成的角,∴∠A1AO=45° 
∵底面是邊長(zhǎng)為2
3
的正三角形,∴AO=3
∴A1O=3,AA1=3
2

過(guò)O作OE⊥AC于E,連接A1E,由三垂線定理得A1E⊥AC,
∴∠A1EO為二面角A1-AC-B的平面角
∵OE=
3
2
,∴tan∠A1EO=
A1O
OE
=2,
cos∠A1EO=
5
5

即二面角A1-AC-B的余弦值為
5
5
點(diǎn)評(píng):本題考查線面垂直的性質(zhì)及二面角的平面角.可利用三垂線定作二面角的平面角.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)已知三棱柱ABC-A1B1C1的三視圖如圖所示,其中主視圖AA1B1B和左視圖B1BCC1均為矩形,在俯視圖△A1B1C1中,A1C1=3,A1B1=5,cos∠A1=
35

(1)在三棱柱ABC-A1B1C1中,求證:BC⊥AC1;
(2)在三棱柱ABC-A1B1C1中,若D是底邊AB的中點(diǎn),求證:AC1∥平面CDB1
(3)若三棱柱的高為5,求三視圖中左視圖的面積.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖:在正三棱柱ABC-A1 B1 C1中,AB=
AA13
=a,E,F(xiàn)分別是BB1,CC1上的點(diǎn)且BE=a,CF=2a.
(Ⅰ)求證:面AEF⊥面ACF;
(Ⅱ)求三棱錐A1-AEF的體積.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

在三棱柱ABC-A1B1C1中,已知AB=AC=AA1=
5
,BC=4,在A1在底面ABC的投影是線段BC的中點(diǎn)O.
(1)求點(diǎn)C到平面A1ABB1的距離;
(2)求二面角A-BC1-B1的余弦值;
(3)若M,N分別為直線AA1,B1C上動(dòng)點(diǎn),求MN的最小值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2012•江西)在三棱柱ABC-A1B1C1中,已知AB=AC=AA1=
5
,BC=4,在A1在底面ABC的投影是線段BC的中點(diǎn)O.
(1)證明在側(cè)棱AA1上存在一點(diǎn)E,使得OE⊥平面BB1C1C,并求出AE的長(zhǎng);
(2)求平面A1B1C與平面BB1C1C夾角的余弦值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2013•北京)如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1C1C是邊長(zhǎng)為4的正方形.平面ABC⊥平面AA1C1C,AB=3,BC=5.
(Ⅰ)求證:AA1⊥平面ABC;
(Ⅱ)求證二面角A1-BC1-B1的余弦值;
(Ⅲ)證明:在線段BC1上存在點(diǎn)D,使得AD⊥A1B,并求
BDBC1
的值.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案