Question

已知函數(shù)f（x）=aln（2x+1）+bx+1．
（1）若函數(shù)y=f（x）在x=1處取得極值，且曲線y=f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線與直線2x+y-3=0平行，求a和b的值；
（2）若b=

1

2

，試討論函數(shù)y=f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：計(jì)算題,分類討論,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由題意得

f′(1)=0 f′(0)=-2

，列出a，b的方程，解出即可；
（2）求出b=

1

2

的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，對(duì)a討論，分a≥0，a＜0，令導(dǎo)數(shù)大于0，得增區(qū)間；令導(dǎo)數(shù)小于0，得減區(qū)間，注意函數(shù)的定義域．

解答： 解：（1）∵f（x）=aln（2x+1）+bx+1，
∴f′（x）=

2bx+2a+b

2x+1

，x＞-

1

2

，
由題意可得

f′(1)=0 f′(0)=-2

，
即

2a+3b=0 2a+b=-2

   解得

a=- 3 2 b=1

；   
（2）b=

1

2

時(shí)，f（x）=aln（2x+1）+

1

2

x+1
∴f′（x）=

2x+4a+1

4x+2

，x＞-

1

2

，
∵4x+2＞0，∴當(dāng)a≥0時(shí)，在定義域（-

1

2

，+∞）內(nèi)f′（x）＞0恒成立，函數(shù)單調(diào)遞增，
當(dāng)a＜0時(shí)，由f′（x）＞0得x＞-2a-

1

2

，由f′（x）＜0得-

1

2

＜x＜-2a-

1

2

，
綜上：當(dāng)a≥0時(shí)，函數(shù)y=f（x）在（-

1

2

，+∞）上是增函數(shù)；
當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)y=f（x）在（-

1

2

，-2a-

1

2

）上為減函數(shù)，在（-2a-

1

2

，+∞）上是增函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用：求切線方程和求單調(diào)區(qū)間以及極值，考查分類討論的思想方法，以及運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．