Question

12．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}ln|tx|-ln（x+1），x＞-1且x≠0}\\{tx+{t}^{2}-2，x≤-1}\end{array}\right.$，恰有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是（-4，-1）∪（0，2）．

Answer 1

分析 若函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}ln|tx|-ln（x+1），x＞-1且x≠0}\\{tx+{t}^{2}-2，x≤-1}\end{array}\right.$，恰有一個(gè)零點(diǎn)，則$y=\frac{1}{2}ln|tx|-ln（x+1），x＞-1且x≠0$恰有一個(gè)零點(diǎn)，y=tx+t²-2，x≤-1無(wú)零點(diǎn)，或$y=\frac{1}{2}ln|tx|-ln（x+1），x＞-1且x≠0$無(wú)零點(diǎn)，y=tx+t²-2，x≤-1恰有一個(gè)零點(diǎn)，分類(lèi)討論各個(gè)情況下，兩段函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，綜合討論結(jié)果可得答案．

解答 解：若函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}ln|tx|-ln（x+1），x＞-1且x≠0}\\{tx+{t}^{2}-2，x≤-1}\end{array}\right.$，恰有一個(gè)零點(diǎn)，
則$y=\frac{1}{2}ln|tx|-ln（x+1），x＞-1且x≠0$恰有一個(gè)零點(diǎn)，y=tx+t²-2，x≤-1無(wú)零點(diǎn)，
或$y=\frac{1}{2}ln|tx|-ln（x+1），x＞-1且x≠0$無(wú)零點(diǎn)，y=tx+t²-2，x≤-1恰有一個(gè)零點(diǎn)，
令$y=\frac{1}{2}ln|tx|-ln（x+1）=0$，則$\frac{1}{2}ln|tx|=ln（x+1）$，
則$ln\sqrt{\left|tx\right|}=ln（x+1）$，
則$\sqrt{\left|tx\right|}=x+1$，
即|tx|=x²+2x+1，
當(dāng)0＜|t|＜4時(shí)，y=|tx|與y=x²+2x+1的圖象在x＞-1時(shí)，只有一個(gè)交點(diǎn)，
當(dāng)|t|=0時(shí)，y=|tx|與y=x²+2x+1的圖象在x＞-1時(shí)，無(wú)交點(diǎn)；
當(dāng)|t|≥4時(shí)，y=|tx|與y=x²+2x+1的圖象在x＞-1時(shí)，有兩個(gè)以上交點(diǎn)，
由y=tx+t²-2得：x=$\frac{2-{t}^{2}}{t}$≤-1，解得：t≥2，或-1≤t＜0，
故t∈（-4，-1）∪（0，2）．
故答案為：（-4，-1）∪（0，2）

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是分段函數(shù)的解析式求法，函數(shù)的零點(diǎn)，分類(lèi)討論思想，難度極大．