已知四面體ABCD的棱長(zhǎng)都相等，E、F、G、H分別為AB、AC、AD以及BC的中點(diǎn)．求證；面BHG⊥面FHG．

答案：略
解析：

證法1：如圖，取CD中點(diǎn)M，連HM、MC，則MHEG為一平行四邊形．連EM交HG于O，連F0，在△FHG中，O為HC中點(diǎn)，且FH＝FG，∴FO⊥HG．同理可證FO⊥EM∴FO⊥面EHMG．又FO面PGH，∴面EHG⊥面FHG．

證法2：取HG中點(diǎn)O，連OF、EO，則易證FO⊥HG，EO⊥HG．∴∠EOF為二面角E-HG-F的平面角．設(shè)四面體棱長(zhǎng)為1，則．．在△EFO中，．．∴面EHG⊥面FHG．

點(diǎn)拔：證明兩個(gè)平面垂直，通常有兩種方法．常用方法是判定定理，通過證明線線垂直→線面垂直→面面垂直來實(shí)現(xiàn)的．證明兩個(gè)垂直，一是用定義法即證兩面所成的二面角為90°，二是用判定定理即一個(gè)面通過另一個(gè)面的一條垂線．


練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知四面體ABCD的各棱長(zhǎng)均為2，一動(dòng)點(diǎn)P由點(diǎn)B出發(fā)，沿表面經(jīng)過△ACD的中心后到達(dá)AD中點(diǎn)，則點(diǎn)P行走的最短路程是（　　）
A、
5
3
3
B、
4
3
3
C、
3
D、其他

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知四面體ABCD的六條棱長(zhǎng)都是1，則直線AD與平面ABC的夾角的余弦值為
 
．
精英家教網(wǎng)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知△ABC的周長(zhǎng)為l，面積為S，則△ABC的內(nèi)切圓半徑為r=
2S
l
．將此結(jié)論類比到空間，已知四面體ABCD的表面積為S，體積為V，則四面體ABCD的內(nèi)切球的半徑R=
3V
S
3V
S
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知四面體ABCD的四個(gè)面均為銳角三角形，EFGH分別是邊AB，BC，CD，DA上的點(diǎn)，BD||平面EFGH，且EH=FG．
（1）求證：HG||平面ABC
（2）請(qǐng)?jiān)谄矫鍭BD內(nèi)過點(diǎn)E做一條線段垂直于AC，并給出證明．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011-2012學(xué)年江蘇省高三下學(xué)期開學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷 題型：解答題

(本小題滿分14分)如圖，已知四面體ABCD的四個(gè)面均為銳角三角形，E、F、G、H分別為邊AB、BC、CD、DA上的點(diǎn)，BD∥平面EFGH，且EH＝FG.

 

 

(1) 求證：HG∥平面ABC；

(2) 請(qǐng)?jiān)诿鍭BD內(nèi)過點(diǎn)E作一條線段垂直于AC，并給出證明．

 

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