Question

已知等差數(shù)列前三項的和為-3，前三項的積為8，
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式．
（2）若a₂，a₃，a₁成等比數(shù)列，求數(shù)列{|a_n-10|}的前n項和S_n．

Answer 1

分析：（1）設出數(shù)列的首項與公差，根據(jù)等差數(shù)列前三項的和為-3，前三項的積為8，即可求得數(shù)列{a_n}的通項公式．
（2）根據(jù)a₂，a₃，a₁成等比數(shù)列，可得數(shù)列{|a_n-10|}的通項，分類討論，可求數(shù)列{|a_n-10|}的前n項和S_n．

解答：解：（1）設數(shù)列的首項為a₁，公差為d，
∵等差數(shù)列前三項的和為-3，前三項的積為8，
∴a₁+（a₁+d）+（a₁+2d）=-3，a₁（a₁+d）（a₁+2d）=8
∴a₁=-4，d=3或a₁=2，d=-3
∴a_n=3n-7或a_n=-3n+5…（5分）
（2）∵a₂，a₃，a₁成等比數(shù)列，∴a_n=3n-7
∴a_n-10=3n-17…（7分）
記a_n-10=b_n，數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n，則Tn=

3n2-31n

2

∵b_n=3n-17，∴當n≤5時，b_n＜0；當n≥6時，b_n＞0
①當n≤5時，Sn=|b1|+…+|bn|=-Tn=

31n-3n2

2

…（9分）
②當n≥6時，S_n=|b₁|+…+|b_n|=-（b₁+…b₅）+（b₆+…+b_n）=Tn-2T5=

3n2-31n+160

2

…（12分）
綜上可知，Sn=

3n2-31n+160 2 (n≥6) 31n-3n2 2 (n≤5)

…（13分）

點評：本題考查等差數(shù)列的通項與求和，考查分類討論的數(shù)學思想，考查學生的計算能力，屬于中檔題．