Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=，點(diǎn)E是棱PB的中點(diǎn)。

（1）求直線AD與平面PBC的距離；
（2）若求二面角A-EC-D的平面角的余弦值。

Answer 1

解：（1）如圖，在矩形ABCD中，AD∥BC， 從而AD∥平面PBC，故直線AD與平面PBC的距離為點(diǎn)A到平面PBC的距離 因?yàn)镻A⊥底面ABCD，故PA⊥AB， 由PA=AB知△PAB為等腰直角三角形， 又點(diǎn)E是棱PB的中點(diǎn)，故AE⊥PB 又在矩形AB-CD中，BC⊥AB， 而AB是PB在底面ABCD內(nèi)的射影，由三垂線定理得BC⊥PB，從而BC⊥平面PAB，故BC⊥AE 從而AE⊥平面PBC，故AE之長即為直線AD與平面PBC的距離， 在Rt△PAB中， 所以； （2）過點(diǎn)D作DF⊥CE，交CE于F，過點(diǎn)F作FG⊥CE，交AC于G， 則∠DFG為所求的二面角的平面角 由（1）知BC⊥平面PAB，又AD∥BC， 得AD⊥平面PAB，故AD⊥AE，從而 在Rt△CBE中， 由 所以△CDE為等邊三角形，故F為CE的中點(diǎn)，且DF=CD· 因?yàn)锳E⊥平面PBC，設(shè)AE⊥CE，又FG⊥CE，知 從而，且G點(diǎn)為AC的中點(diǎn) 連結(jié)DG，則在Rt△ADG中， 所以。