已知向量
OA
=(sinθ，-1)，
OB
=(x，cosθ)
（1）若θ=
π
4
，x∈[1，3]，求函數(shù)f(x)=
OA
•
OB
的值域；
（2）若x=
3
，θ∈(
π
2
，π)，求函數(shù)g(θ)=
OA
•
OB
的最大值，并求此時的|
AB
|．
分析：（1）利用向量的數(shù)量積的運算求得函數(shù)的解析式，把θ的值代入，進而利用x的范圍確定y的范圍．
（2）利用向量的數(shù)量積的運算求得函數(shù)的解析式，把x的值代入，利用兩角和公式化簡整理利用θ的范圍和正弦函數(shù)的性質(zhì)求得函數(shù)的最大值，利用向量的基本知識求得|
AB
|．
解答：解：（1）f(x)=
OA
•
OB
=sinθx-cosθ=
2
2
x-
2
2

∵x∈[1，3]，
∴
2
2
x-
2
2
∈[0，
2
]，即函數(shù)的值域為[0，
2
]
（2）g(θ)=
OA
•
OB
═sinθx-cosθ=
3
sinθ-cosθ=2sin（θ-
π
6
）
∵θ∈(
π
2
，π)
∴
π
3
≤θ-
π
6
≤
5π
6

∴[g（θ）]max=2，此時|
AB
|=1
點評：本題主要考查了三角函數(shù)的最值，向量的數(shù)量積的運算．解題的關(guān)鍵是求得函數(shù)的解析式，利用函數(shù)的單調(diào)性求得答案．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
OA
=(λsinα，λcosα)，
OB
=(cosβ，sinβ)，且α+β=4．
（1）求
OA
，
OB
的夾角θ的大小；
（2）求|
AB
|的最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（理）設(shè)α∈（0，π），函數(shù)f（x）的定義域為[0，1]，且f（0）=0，f（1）=1，對定義域內(nèi)任意的x，y，滿足f（
x+y
2
）=f（x）sinα+（1-sinα）f（y）．
（1）試用α表示f（
1
2
），并在f（
1
2
）時求出α的值；
（2）試用α表示f（
1
4
），并求出α的值；
（3）n∈N時，an=
1
2n
，求f（an），并猜測x∈[0，1]時，f（x）的表達式．
（文）已知向量
OA
=(3，-4)，
OB
=(6，-3)，
OC
=（5-m，-3-m）
（1）若點A、B、C不能構(gòu)成三角形，求實數(shù)m應(yīng)滿足的條件．
（2）若△ABC為直角三角形，求m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知向量
OA
=(sinθ，-1)，
OB
=(x，cosθ)
（1）若θ=
π
4
，x∈[1，3]，求函數(shù)f(x)=
OA
•
OB
的值域；
（2）若x=
3
，θ∈(
π
2
，π)，求函數(shù)g(θ)=
OA
•
OB
的最大值，并求此時的|
AB
|．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知向量
OA
=(λsinα，λcosα)，
OB
=(cosβ，sinβ)，且α+β=4．
（1）求
OA
，
OB
的夾角θ的大��；
（2）求|
AB
|的最小值．

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