Question

不等式|x+

1

x

|≥|a-2|+siny對(duì)一切非零實(shí)數(shù)x，y均成立，則實(shí)數(shù)a的范圍為

 

．

Answer 1

分析：由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)，我們可以求出不等式左邊的最小值，再由三角函數(shù)的性質(zhì)，我們可以求出siny的最大值，若不等式|x+

1

x

|≥|a-2|+siny恒成立，則|a-2|≤1，解這個(gè)絕對(duì)值不等式，即可得到答案．

解答：解：∵x+

1

x

∈（-∞，-2]∪[2，+∞）
∴|x+

1

x

|∈[2，+∞），其最小值為2
又∵siny的最大值為1
故不等式|x+

1

x

|≥|a-2|+siny恒成立時(shí)，
有|a-2|≤1
解得a∈[1，3]
故答案為[1，3]

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是絕對(duì)值三角不等式的解法，其中根據(jù)對(duì)勾函數(shù)及三角函數(shù)的性質(zhì)，將不等式|x+

1

x

|≥|a-2|+siny恒成立轉(zhuǎn)化為|a-2|≤1，是解答本題的關(guān)鍵．