Question

（2013•長寧區(qū)一模）已知

m

=(2cosx+2

3

sinx，1)，

n

=(cosx，-y)，滿足

m

•

n

=0．
（Ⅰ）將y表示為x的函數(shù)f（x），并求f（x）的最小正周期：
（Ⅱ）已知a，b，c分別為△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對應(yīng)邊長，若f(

A

2

)=3，且a=2，求b+c的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用向量的數(shù)量積公式，結(jié)合二倍角、輔助角公式化簡函數(shù)，從而可求函數(shù)的最小正周期；
（Ⅱ）由f(

A

2

)=3，求得A=

π

3

．由a=2，利用正弦定理可得b=

4

3

3

sinB，c=

4

3

3

sinC，從而b+c=

4

3

3

sinB+

4

3

3

sinC，化簡，即可求b+c的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）∵

m

=(2cosx+2

3

sinx，1)，

n

=(cosx，-y)，滿足

m

•

n

=0．
∴2cos²x+2

3

sinxcosx-y=0
∴y=2cos²x+2

3

sinxcosx=cos2x+

3

sin2x+1
∴f（x）=2sin（2x+

π

6

）+1，f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π；
（Ⅱ）∵f(

A

2

)=3，∴sin（A+

π

6

）=1
∵A∈（0，π），∴A=

π

3

∵a=2，∴由正弦定理可得b=

4

3

3

sinB，c=

4

3

3

sinC
∴b+c=

4

3

3

sinB+

4

3

3

sinC=

4

3

3

sinB+

4

3

3

sin(

2π

3

-B)=4sin（B+

π

6

）
∵B∈(0，

2π

3

)，∴B+

π

6

∈(

π

6

，

5π

6

)，∴sin（B+

π

6

）∈（

1

2

，1]，
∴b+c∈（2，4]
∴b+c的取值范圍為（2，4]．

點(diǎn)評：本題考查向量知識的運(yùn)用，考查三角函數(shù)的化簡，考查正弦定理，確定函數(shù)解析式是關(guān)鍵．