Question

某酒店根據以往數據統(tǒng)計發(fā)現，在預訂了客房的客人中，會有

1

3

的人不來入住，所以酒店經常采用超額預訂的方式，即預計出去的客房數超出可用客房數，由于超額預訂酒店會面臨的損失包括：若客人未能如約入住而產生一間空房的話，會造成50元的損失；而已經預訂房間的客人由于超額預訂而不能得到房間時，酒店會損失100元（將客人安排到其他酒店的費用），現將3間客房預訂給5位客人，設每位預訂客房的客人出現與否是相互獨立的隨機事件．
（Ⅰ）求5人中恰有2人不出現的概率；
（Ⅱ）求客人來沒有客房住的情況發(fā)生的概率；
（Ⅲ）設ξ為酒店的損失，求ξ的分布列及數學期望．

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差,列舉法計算基本事件數及事件發(fā)生的概率,離散型隨機變量及其分布列

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（Ⅰ）由已知得預訂客房的5位客人中不出現的人數X～B（5，

1

3

），由此能求出5人中恰有2人不出現的概率．
（Ⅱ）客人來沒有客房住的情況有兩種：X=0和X=1，由此能求出客人來沒有客房住的情況的概率．
（Ⅲ）ξ的可能取值為0，50，100，150，200，對應的X值分別為2，3，1或4，5，0，分別求出相應的概率，由此能求出ξ的分布列及數學期望．

解答： 解：（Ⅰ）由已知得預訂客房的5位客人中不出現的人數X～B（5，

1

3

），
∴5人中恰有2人不出現的概率：
P₁=

C

2 5

(

1

3

)2(1-

1

3

)3=

80

243

．
（Ⅱ）客人來沒有客房住的情況有兩種：X=0和X=1，
∴客人來沒有客房住的情況的概率：
P₂=P（X=0）+P（X=1）
=

C

0 5

(1-

1

3

)5+

C

1 5

(

1

3

)(1-

1

3

)4=

112

80

．
ξ的可能取值為0，50，100，150，200，
∴P（ξ=0）=P（X=2）=

C

2 5

(

1

3

)2(1-

1

3

)3=

80

243

，
P（ξ=50）=P（X=3）=

C

3 5

(

1

3

)3(1-

1

3

)2=

40

243

，
P（ξ=100）=P（X=1）+P（X=4）=

C

1 5

(

1

3

)(1-

1

3

)4+

C

4 5

(

1

3

)4(1-

1

3

)=

90

243

，
P（ξ=150）=P（X=5）=

C

5 5

(

1

3

)5=

1

243

，
P（ξ=200）=P（X=0）=

C

0 5

（1-

1

3

）⁵=

32

243

，
ξ的分布列為：

ξ	0	50	100	150	200
P	80 243	40 243	90 243	1 243	32 243

∴Eξ=0×

80

243

+50×

40

243

+100×

90

243

+150×

1

243

+200×

32

243

=72.2．

點評：本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數學期望的求法，解題時要認真審題，注意二項分布的性質的合理運用．