Question

【題目】楊輝三角，是二項(xiàng)式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列.在歐洲，這個(gè)表叫做帕斯卡三角形，帕斯卡（1623-1662）是在1654年發(fā)現(xiàn)這一規(guī)律的.我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書里出現(xiàn)了如圖所示的表，這是我國(guó)數(shù)學(xué)史上的一個(gè)偉大成就.如圖所示，在“楊輝三角”中，去除所有為1的項(xiàng)，依次構(gòu)成數(shù)列，則此數(shù)列前135項(xiàng)的和為( )

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】A

【解析】

利用n次二項(xiàng)式系數(shù)對(duì)應(yīng)楊輝三角形的第n+1行，然后令x＝1得到對(duì)應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)和，結(jié)合等比數(shù)列和等差數(shù)列的公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可．

n次二項(xiàng)式系數(shù)對(duì)應(yīng)楊輝三角形的第n+1行，

例如（x+1）2＝x2+2x+1，系數(shù)分別為1，2，1，對(duì)應(yīng)楊輝三角形的第3行，令x＝1，就可以求出該行的系數(shù)之和，

第1行為20，第2行為21，第3行為22，以此類推

即每一行數(shù)字和為首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，

則楊輝三角形的前n項(xiàng)和為Sn2n﹣1，

若去除所有的為1的項(xiàng)，則剩下的每一行的個(gè)數(shù)為1，2，3，4，……，可以看成一個(gè)首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，

則Tn，

可得當(dāng)n＝15，在加上第16行的前15項(xiàng)時(shí)，所有項(xiàng)的個(gè)數(shù)和為135，

由于最右側(cè)為2，3，4，5，……，為首項(xiàng)是2公差為1的等差數(shù)列，

則第16行的第16項(xiàng)為17，

則楊輝三角形的前18項(xiàng)的和為S18＝218﹣1，

則此數(shù)列前135項(xiàng)的和為S18﹣35﹣17＝218﹣53，

故選：A．