Question

某輪船在海面上勻速行駛，該輪船每小時使用燃料的費用（單位：元）和輪船速度（單位：海里/時）的平方成正比．當速度是10海里/時它的燃料費用是每小時30元，其余費用（不論速度如何）都是每小時480元，如果甲、乙兩地相距100海里，
（1）求輪船從甲地行駛到乙地，所需的總費用與船速的關(guān)系式；
（2）問船速為多少時，總費用最低？并求出最低費用是多少．

Answer 1

分析：（1）由已知中，設(shè)船速為x，我們易求出每小時使用燃料的費用（單位：元）和輪船速度（單位：海里/時）的比例系數(shù)，及航行的時間，進而得到總費用與船速的關(guān)系式；
（2）由（1）中總費用與船速的關(guān)系式，結(jié)合基本不等式，即可確定出船速為多少時，總費用最低，及最低費用的值．

解答：解：（1）由已知中輪船每小時使用燃料的費用（單位：元）和輪船速度（單位：海里/時）的平方成正比
設(shè)船速為x，燃料的費用t=Kx²，
由速度是10海里/時它的燃料費用是每小時30元
則K=0.3，即t=0.3x²，
雙由航行時間為

100

x

，其余費用每小時480元，
故輪船從甲地行駛到乙地，所需的總費用與船速的關(guān)系式為y=

100

x

•.3x²+

48000

x

=30x+

48000

x

（2）由（1）中總費用與船速的關(guān)系式為y=30x+

48000

x

≥2

30x• 48000 x

=1200
當且僅當30x=

48000

x

，即x=40時取等
即船速為40海里/時時，總費用取最低值1200元

點評：本題考查的知識點是函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，函數(shù)的最值及其求法，其中（1）的關(guān)鍵是由已知中確定燃料的費用（單位：元）和輪船速度（單位：海里/時）的比例系數(shù)，及航行的時間，（2）的關(guān)鍵是根據(jù)解析的形式，確定由基本不等式求函數(shù)的最值．