【題目】如圖， 平面， 平面， 是等邊三角形， ，

是的中點.

（1）求證： ；

（2）若直線與平面所成角的正切值為，求二面角的余弦值.

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】試題分析：⑴證明， ，推出平面，然后證明

；

⑵以點為坐標原點， 所在直線為軸， 所在直線為軸，過且與直線平行的直線為軸，建立空間直角坐標系，說明為直線與平面所成角，設(shè)，求出相關(guān)點的坐標，求出平面與平面的法向量，利用空間向量的數(shù)量積求解即可；

解析：（1）因為是等邊三角形， 是的中點，所.

因為平面， 平面，所以.

因為，所以平面.

因為平面，所以.

（2）法1：以點為坐標原點， 所在直線為軸， 所在直線為軸，過且與直線平行的直線為軸，建立空間直角坐標系.

因為平面，所以為直線與平面所成角.

得，即，從而.

不妨設(shè)，又，則， .故， ，

， .于是，

， ， ，設(shè)平面與平面的法向量分別為

， ，由得令，得，

所以.由得令得

， .所以.

所以.

所以二面角的余弦值為.

法2：因為平面，所以為直線與平面所成角.

由題意得，即，從而.

不妨設(shè)，又， ， ， .

由于平面， 平面，則.

取的中點，連接，則.

在中， ，

在中， ，

在中， ，

取的中點，連接， ， ，

則， . 所以為二面角的平面角.

在中， ，在中， ，

在中， ，因為，

所以.所以二面角的余弦值

練習冊系列答案
相關(guān)習題

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【題目】某動漫影視制作公司長期堅持文化自信，不斷挖掘中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化中的動漫題材，創(chuàng)作出一批又一批的優(yōu)秀動漫影視作品，獲得市場和廣大觀眾的一致好評.同時也為公司贏得豐厚的利潤，該公司2013年至2019年的年利潤關(guān)于年份代號的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表（已知該公司的年利潤與年份代號線性相關(guān)）

年份

2013

2014

2015

2016

2017

2018

2019

年份代號

1

2

3

4

5

6

7

年利潤（單位：億元）

29

33

36

44

48

52

59

（1）求關(guān)于的線性回歸方程，并預測該公司2020年的年利潤；

（2）當統(tǒng)計表中某年年利潤的實際值大于由（1）中線性回歸方程計算出該年利潤的估計值時，稱該年為A級利潤年，否則稱為B級利潤年.現(xiàn)從2015年至2019年這5年中隨機抽取2年，求恰有1年為A級利潤年的概率.

參考公式：，

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知定點，定直線，動點到點的距離比點到的距離小1.

（1）求動點P的軌跡C的方程；

（2）過點的直線與（1）中軌跡C相交于兩個不同的點M、N，若，求直線的斜率的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知某智能手機制作完成之后還需要依次通過三道嚴格的審核程序，第一道審核、第二道審核、第三道審核通過的概率分別為， ， ，每道程序是相互獨立的，且一旦審核不通過就停止審核，每部手機只有三道程序都通過才能出廠銷售．

（1）求審核過程中只通過兩道程序的概率；

（2）現(xiàn)有3部該智能手機進入審核，記這3部手機可以出廠銷售的部數(shù)為，求的分布列及數(shù)學期望．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】【2018屆寧夏育才中學高三上學期期末】某公司為了解廣告投入對銷售收益的影響，在若干地區(qū)各投入萬元廣告費用，并將各地的銷售收益繪制成頻率分布直方圖（如圖所示），由于工作人員操作失誤，橫軸的數(shù)據(jù)丟失，但可以確定橫軸是從開始計數(shù)的.

（1）根據(jù)頻率分布直方圖計算圖中各小長方形的寬度；

（2）試估計該公司投入萬元廣告費用之后，對應(yīng)銷售收益的平均值（以各組的區(qū)間中點值代表該組的取值）；

（3）該公司按照類似的研究方法，測得另外一些數(shù)據(jù)，并整理得到下表：

由表中的數(shù)據(jù)顯示， 與之間存在著線性相關(guān)關(guān)系，請將（2）的結(jié)果填入空白欄，并求出關(guān)于的回歸直線方程.

參考公式：

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓： 的離心率為，焦距為，拋物線： 的焦點是橢圓的頂點.

（1）求與的標準方程；

（2）上不同于的兩點， 滿足，且直線與相切，求的面積.

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【題目】已知F1、F2分別為雙曲線的左、右焦點，若雙曲線左支上存在一點P，使得=8a，則雙曲線的離心率的取值范圍是__________________．

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【題目】已知圓的圓心坐標，直線：被圓截得弦長為.

（1）求圓的方程；

（2）從圓外一點向圓引切線，求切線方程.

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【題目】2017年是某市大力推進居民生活垃圾分類的關(guān)鍵一年，有關(guān)部門為宣傳垃圾分類知識，面向該市市民進行了一次“垃圾分類知識”的網(wǎng)絡(luò)問卷調(diào)查，每位市民僅有一次參與機會，通過抽樣，得到參與問卷調(diào)查中的1000人的得分數(shù)據(jù)，其頻率分布直方圖如圖所示：

(Ⅰ)估計該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)、眾數(shù)；

(Ⅱ)由頻率分布直方圖可以認為，此次問卷調(diào)查的得分Z服從正態(tài)分布N(μ，210)，μ近似為這1000人得分的平均值(同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值作代表)，利用該正態(tài)分布，求P(50.5<Z<94)；

(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下，有關(guān)部門為此次參加問卷調(diào)査的市民制定如下獎勵方案：

(i)得分不低于μ可獲贈2次隨機話費，得分低于μ則只有1次；

(ii)每次贈送的隨機話費和對應(yīng)概率如下：

贈送話費(單元：元)

10

20

概率

現(xiàn)有一位市民要參加此次問卷調(diào)查，記X(單位：元)為該市民參加.問卷調(diào)查獲贈的話費，求X的分布列和數(shù)學期望.

附： ，

若ZN(μ，σ2)，則P(μ－σ<Z<μ+σ)= 0.6826，P(μ－2σ<Z<μ+2σ)=0.9544.

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