Question

將如圖所示的邊長(zhǎng)為a的等邊三角形鐵片，剪去三個(gè)四邊形，做成一個(gè)無(wú)蓋的正三棱柱形容器（不計(jì)接縫），設(shè)容器的高為x，容積為V（x）。
（1）寫出函數(shù)V（x）的解析式，并求出函數(shù)的定義域；
（2）求當(dāng)x為多少時(shí)，容器的容積最大？并求出最大容積。

Answer 1

解：（1）因?yàn)槿萜鞯母邽閤，則做成的正三棱柱形容器的底邊長(zhǎng)為，
則，
函數(shù)的定義域?yàn)?IMG style="VERTICAL-ALIGN: middle" border=0 src="http://thumb.1010pic.com/pic1/upload/papers/g02/20120417/201204170939196621162.gif">；
（2）實(shí)際問(wèn)題歸結(jié)為求函數(shù)V（x）在區(qū)間上的最大值點(diǎn)，
先求V（x）的極值點(diǎn)，在開(kāi)區(qū)間內(nèi)，，
令V′（x）=0，即，解得，x₂=（舍去），
因?yàn)?IMG style="VERTICAL-ALIGN: middle" border=0 src="http://thumb.1010pic.com/pic1/upload/papers/g02/20120417/201204170939200071143.gif">在區(qū)間內(nèi)，x₁可能是極值點(diǎn)，
當(dāng)0＜x＜x₁時(shí)，V′（x）＞0；
當(dāng)時(shí)，V′（x）＜0，
因?yàn)閤₁是極大值點(diǎn)，且在區(qū)間內(nèi)，x₁是唯一的極值點(diǎn)，
所以是V（x）的最大值點(diǎn)，并且最大值為，
即當(dāng)正三棱柱形容器高為時(shí)，容器的容積最大為。