Question

15．已知數(shù)列{a_n}中，a₁=2，當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=2a_n-1+3•2^n-1．?dāng)?shù)列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}的前n項(xiàng)和為S_n，則不等式S_n＜20的解集為{1，2，3，4}．

Answer 1

分析 由題意可知$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$-$\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{n-1}}$=$\frac{3}{2}$，從而寫(xiě)出S_n=n+$\frac{n（n-1）}{2}$•$\frac{3}{2}$=$\frac{3{n}^{2}+n}{4}$，從而解得．

解答 解：∵a_n=2a_n-1+3•2^n-1，
∴$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{n-1}}$+$\frac{3}{2}$，
∴$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$-$\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{n-1}}$=$\frac{3}{2}$，
又∵$\frac{{a}_{1}}{2}$=1，
∴數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}是以1為首項(xiàng)，$\frac{3}{2}$為公差的等差數(shù)列，
∴S_n=n+$\frac{n（n-1）}{2}$•$\frac{3}{2}$=$\frac{3{n}^{2}+n}{4}$，
故$\frac{3{n}^{2}+n}{4}$＜20，且n∈N^*，
故n=1，2，3，4；
故答案為：{1，2，3，4}．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列的化簡(jiǎn)與運(yùn)算及等差數(shù)列的應(yīng)用．