Question

甲同學(xué)有一只裝有a個(gè)紅球，b個(gè)白球，c個(gè)黃球的箱子，假設(shè)a≥0，b≥0，a+b+c=6，乙同學(xué)有一只裝有3個(gè)紅球，2個(gè)白球，1個(gè)黃球的箱子．甲、乙兩同學(xué)各自從自己的箱子中隨機(jī)取出一個(gè)球，然后對(duì)取出的球的顏色進(jìn)行比較，規(guī)定顏色相同時(shí)為甲同學(xué)勝，顏色不同時(shí)為乙同學(xué)勝，假設(shè)甲同學(xué)箱子中的每個(gè)球被取出的概率相等，乙同學(xué)箱子中的每個(gè)球被取出的概率也相等，
（1）求證：乙同學(xué)勝的概率等

24-a+c

36

；
（2）假設(shè)甲同學(xué)勝的概率等于

1

2

，求a，b，c的值．

Answer 1

考點(diǎn)：等可能事件的概率

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）分別設(shè)甲同學(xué)的勝的概率為P_甲，設(shè)乙同學(xué)的勝的概率為P_乙，顯然甲同學(xué)勝與乙同學(xué)勝為對(duì)立事件，所以P_乙=1-P_甲，求出甲勝的概率，繼而得到乙勝的概率，問題得證；
（2）根據(jù)甲同學(xué)勝的概率等于

1

2

，求出a，c的范圍，再根據(jù)乙勝的概率≥

1

2

，求出a，b，c的值

解答： 解：（1）證明，設(shè)甲同學(xué)的勝的概率為P_甲，設(shè)乙同學(xué)的勝的概率為P_乙，顯然甲同學(xué)勝與乙同學(xué)勝為對(duì)立事件，所以P_乙=1-P_甲，
甲同學(xué)勝分三個(gè)基本事件：（1）A₁：“甲乙均取得紅球“，（2）A₂：“甲乙均取得白球“，（3）A₃：“甲乙均取得黃球“，
∵P（A₁）=

3a

6×6

=

a

12

，P（A₂）=

b×2

6×6

=

b

18

，P（A₃）=

c×1

6×6

=

c

36

，
∴P_甲=P（A₁）+P（A₂）+P（A₃）=

3a+2b+c

36

∵a+b+c=6，
∴b=6-a-c，
∴P_甲=

3a+2b+c

36

=

12+a-c

36

，
∴P_乙=1-P_甲=1-

12+a-c

36

=

24-a+c

36

，
∴乙同學(xué)勝的概率為

24-a+c

36

．
（2）由（1）知，乙同學(xué)勝的概率為

24-a+c

36

．
∵甲同學(xué)勝的概率等于

1

2

，P_乙=1-P_甲，
∴

24-a+c

36

=

1

2

∵a≥0，b≥0，a+b+c=6，
∴a≤6，c≥0，
∴-a≥-6，c≥0，
∴P_乙=

24-a+c

36

≥

24-6

36

=

1

2

，
”=“成立的充要條件是

a=6 c=0

，
∴b=6-a-c=0，
此時(shí)a=6，b=c=0，
∴甲同學(xué)勝的概率等于

1

2

，a=6，b=c=0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等可能事件的概率，以及事件的對(duì)立事件的概率，屬于中檔題