Question

有三個(gè)新興城鎮(zhèn)，分別位于A，B，C三點(diǎn)處，且AB=AC=a，BC=2b，今計(jì)劃合建一個(gè)中心醫(yī)院，為同時(shí)方便三鎮(zhèn)，準(zhǔn)備建在BC的垂直平分線上的P點(diǎn)處，（建立坐標(biāo)系如圖）。

（1）若希望點(diǎn)到三鎮(zhèn)距離的平方和最小，則P應(yīng)位于何處？
（2）若希望點(diǎn)P到三鎮(zhèn)的最遠(yuǎn)距離為最小，點(diǎn)P應(yīng)位于何處？

Answer 1

解：（1）由題設(shè)條件a>b>0，設(shè)P的坐標(biāo)為（0，y），則P至三鎮(zhèn)距離的平方和為

=
所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值
答：點(diǎn)P的坐標(biāo)是。
（2）記
P至三鎮(zhèn)的最遠(yuǎn)距離為
由解得
記
于是
當(dāng)，即時(shí)，
因?yàn)?IMG style="VERTICAL-ALIGN: middle" border=0 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/upload/papers/g02/20111203/20111203141123734981.gif">在[上是增函數(shù)，而在上是減函數(shù)
所以時(shí)，函數(shù)取得最小值
點(diǎn)P的坐標(biāo)是
當(dāng)，即時(shí)，因?yàn)?IMG style="VERTICAL-ALIGN: middle" border=0 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/upload/papers/g02/20111203/20111203141123984963.gif">在[上當(dāng)y=0函數(shù)取得最小值b，
而在上是減函數(shù)，且，
所以時(shí)，函數(shù)取得最小值
答：當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)是
當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)是，其中。