Question

已知數(shù)列{b_n}滿足b_n+1=

1

2

b_n+

1

4

，且b₁=

7

2

，T_n為{b_n}的前n項和．
（Ⅰ）求證：數(shù)列{b_n-

1

2

}是等比數(shù)列，并求出{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）如果對任意n∈N^*，不等式

2Tn+3•22n-1-10

k

≤n²+4n+5恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等比關系的確定

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由已知條件得bn+1-

1

2

=

1

2

(bn-

1

2

)，由此證明{bn-

1

2

}成等比數(shù)列，并求出bn=3×(

1

2

)n-1+

1

2

．
（Ⅱ）由bn=3×(

1

2

)n-1+

1

2

，利用分組求和法得到T_n=6(1-

1

2n

)+

n

2

，由此利用已知條件得到k≥

n+2

n2+4n+5

對任意n∈N^*恒成立，從而能求出實數(shù)k的取值范圍．

解答： （Ⅰ）證明：對任意n∈N^*，都有bn+1=

1

2

bn+

1

4

，
∴bn+1-

1

2

=

1

2

(bn-

1

2

)，
∴{bn-

1

2

}成等比數(shù)列，
首項為b1-

1

2

=3，公比為

1

2

，
∴bn-

1

2

=3×(

1

2

)n-1，
∴bn=3×(

1

2

)n-1+

1

2

．
（Ⅱ）解：∵bn=3×(

1

2

)n-1+

1

2

，
∴Tn=3(1+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

)+

n

2

=

3(1- 1 2n )

1- 1 2

+

n

2

=6(1-

1

2n

)+

n

2

，
∵對任意n∈N^*，不等式

2Tn+3•22n-1-10

k

≤n²+4n+5恒成立，
∴k≥

n+2

n2+4n+5

對任意n∈N^*恒成立，
又

n+2

n2+4n+5

=

1

n+2+ 1 n+2

≤

10

3

，
∴k≥

3

10

．

點評：本題考查考查等比數(shù)列的證明，考查等比數(shù)列的通項公式的求法，考查實數(shù)的取值范圍的求法，解題時要認真審題，注意分組求和法的合理運用．