Question

如圖，四棱錐的底面為一直角梯形，側(cè)面PAD是等邊三角形，其中，，平面底面，是的中點．

(1)求證：//平面；

(2)求證：；

(3)求三棱錐的體積．

 

Answer 1

（1）祥見解析；（2）祥見解析；（3）．

【解析】

試題分析：（1）證BE∥平面PAD，可先取CD的中點為M，構(gòu)建平面EBM，證明平面EBM∥平面APD，由面面平行，得到線面平行；

（2）取PD的中點F，連接FE，根據(jù)線面垂直的判定及性質(zhì)，及等腰三角形性質(zhì)，結(jié)合線面垂直的判定定理可得AF⊥平面PDC，又由BE∥AF，可得BE⊥平面PDC；

（3）利用等體積法，由VP-ACD=VC-PAD，即可求三棱錐P-ACD的體積V．

試題解析：（1）證明：如圖，

取PD的中點F，連接EF、AF，則在三角形PDC中

∴EF∥CD且，AB∥CD且；

∴EF∥AB且，∴四邊形ABEF是平行四邊形， 2分

∴BE∥AF，而BE平面PAD，而AF?平面PAD，

∴BE∥平面PAD； 4分

（2）證明：在直角梯形中，

平面底面，

平面底面=AD

∴CD⊥平面PAD，

， ∴CD⊥AF

由（1）BE∥AF， ∴CD⊥BE 10分

（3）解:由（2）知∴CD⊥平面PAD，

△PAD是邊長為1的等邊三角形

∴三棱錐的體積= 14分

考點：1．直線與平面平行的判定;2．直線與平面垂直的判定;3．棱柱、棱錐、棱臺的體積．