Question

設(shè)函數(shù)f（x）=xsinx（x∈R），
（Ⅰ）證明f（x+2kπ）-f（x）=2kπsinx，其中k為整數(shù)；
（Ⅱ）設(shè)x₀為f（x）的一個(gè)極值點(diǎn)，證明；
（Ⅲ）設(shè)f（x）在(0，+∞)內(nèi)的全部極值點(diǎn)按從小到大的順序排列a₁，a₂，…，a_n，…，證明。

Answer 1

（Ⅰ）證明：由函數(shù)f (x)的定義，對(duì)任意整數(shù)k， 有 ；
（Ⅱ）證明：函數(shù)f（x）在定義域R上可導(dǎo)， ， ① 令f′（x）=0，得sinx+xcosx=0， 顯然，對(duì)于滿足上述方程的x有cosx≠0， 上述方程化簡(jiǎn)為x=-tanx， 如圖所示，此方程一定有解， f（x）的極值點(diǎn)x0一定滿足， 由， 因此，；
（Ⅲ）證明：設(shè)x0＞0是f′（x）=0的任意正實(shí)根， 即， 則存在一個(gè)非負(fù)整數(shù)k，使， 即x0在第二或第四象限內(nèi)， 由①式，在第二象限或第四象限中的符號(hào) 可列表如下： 所以滿足的正根x0都為f（x）的極值點(diǎn)， 由題設(shè)條件，為方程x=-tanx的全部正實(shí)根且滿足 ， 那么對(duì)于n=1，2，…， ， ② 由于， 則， 由于， 由②式知， 由此可知必在第二象限，即； 綜上，。