Question

（2013•哈爾濱一模）選修4-1：幾何證明選講
如圖，AB是⊙O的直徑，弦BD，CA的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E，EF垂直BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．求證：
（1）BE•DE+AC•CE=CE²；
（2）E，F(xiàn)，C，B四點(diǎn)共圓．

Answer 1

分析：（1）由割線定理可得EA•EC=BE•DE，進(jìn)而得到結(jié)論；
（2）利用AB是⊙O的直徑，可得∠ECB=90°．因此CD=

1

2

EB．由EF⊥BF，可得FD=

1

2

BE．進(jìn)而證明結(jié)論．

解答：證明：（1）由割線定理得EA•EC=BE•DE，
∴BE•DE+AC•CE=EA•CE+AC•CE=CE²，
∴BE•DE+AC•CE=CE²；
（2）∵AB是⊙O的直徑，∴∠ECB=90°．∴CD=

1

2

EB．
∵EF⊥BF，∴FD=

1

2

BE．
∴E，F(xiàn)，C，B四點(diǎn)與點(diǎn)D等距離．
∴E，F(xiàn)，C，B四點(diǎn)共圓．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握割線定理和直角三角形斜邊的中線的性質(zhì)及四點(diǎn)共圓的判定方法是解題的關(guān)鍵．