分析:(Ⅰ)把a=100代入,先利用數(shù)列的遞推關(guān)系式求出數(shù)列的各項的特點,再分組求和即可;
(Ⅱ)先對a1=a的取值分:①若0<a1≤3;②若a1>3兩種情況分別求出數(shù)列各項的規(guī)律,即可證明結(jié)論.
解答:解:(1)當a=100時,由題意知數(shù)列a
n的前34項成首項為100,公差為-3的等差數(shù)列,
從第35項開始,奇數(shù)項均為3,偶數(shù)項均為1,
從而S
100=(100+97+94+…+1)+(3+1+3+1+…+3+1)=
+(3+1)×=1717+132=1849.
(2)證明:①若0<a
1≤3,則題意成立;
②若a
1>3,此時數(shù)列a
n的前若干項滿足a
n-a
n-1=3,即a
n=a
1-3(n-1).
設(shè)a
1∈(3k,3k+3],(k≥1,k∈N
*),
則當n=k+1時,a
k+1=a
1-3k∈(0,3].
從而,此時命題成立.
綜上:對于數(shù)列{a
n},一定存在k∈N
*,使0<a
k≤3.
點評:本題的第一問主要考查數(shù)列求和的分組求和法.關(guān)鍵點在于利用遞推關(guān)系式求出數(shù)列的各項的特點,再分組求和即可.